PDE and applications seminar | Nancy

Dans cet exposé nous présenterons des résultats d’existence, d’unicité et de régularité de solution pour certains problèmes elliptiques du second ordre complètement non linéaires. Les opérateurs sont du modèle du p-Laplacien mais ne peuvent pas se mettre sous forme divergente. Les solutions le seront donc dans le sens des solutions de viscosité.  Dans la première partie, notre démarche sera d’abord de prouver l’existence de sous- et sur- solutions de viscosité. Puis, nous montrerons l’existence de solutions de viscosité à l’aide de la méthode de Perron. Nous prouverons l’unicité de la solution et discuterons sa régularité. Dans la deuxième partie, nous considérerons un opérateur symétriquement radiale (un des opérateurs  de Pucci) et prouverons l’existence et l’unicité de solution radiale dans un anneau. Enfin nous donnerons certains résultats récents et perspectives de recherche sur les propriétés de ces équations.

Dans ce travail, nous étudions un problème de contrôle optimal impliquant un modèle simplifié pour la protection d’un champ de culture. Plus précisément, nous considérons une protection sur un champ de culture et cherchons à placer des zones d’intervention, représentées par un contrôle, afin de maximiser la protection sur le champ pendant une période donnée. En utilisant une méthode de relaxation, nous prouvons qu’il existe un contrôle qui maximise la protection et, de plus, ce contrôle doit être de type bang-bang. Par ailleurs, avec des hypothèses supplémentaires sur la géométrie du champ de culture, certains résultats sur la forme de l’intervention optimale sont démontrés en utilisant des résultats de comparaison via les symétrisations de Schwarz et de Steiner. Enfin, des simulations numériques sont réalisées pour illustrer ces résultats.

Je vais présenter un problème d’optimisation à frontière libre analogue au problème de Alt-Caffarelli pour les fonctions biharmoniques. Ce problème apparaît dans différentes questions d’optimisation de forme, dont la minimisation de la trainée d’un obstacle dans un fluide sous contrainte de mesure, la minimisation de la première valeur propre de l’opérateur de Stokes (ou de flambage) dans les domaines du plan, etc.. On s’attend à ce que la frontière libre obtenue soit généralement une union de courbes lisses, pouvant se rejoindre avec un angle d’environ 1.43pi, et je présenterai plusieurs résultats allant dans ce sens.

C’est un travail en collaboration avec Jimmy Lamboley.

Résumé

Résumé

Résumé

D’une part le séminaire présentera des résultats en cours (et relativement préliminaires) sur la dynamique collective d’objets simplifiés, décrits comme des pusher/pullers. On montrera comment on peut adapter la “Force coupling method” à  des nageurs auto-propulsés,et comment l’ approximation dipolaire des interactions peut être traitée proprement pour un très grand nombre d’objets avec cette méthode. Elle sera exposée et illustrée pour des nageurs sphériques. D’autre part, pour la nage individuelle d’objets plus complexes (comme un flagele ou un cil), on présentera un nouveau traitement des contraintes cinématiques des contacts décrivant une fibre oscillante par un assemblage de billes articulés (bead models). Des illustrations de la comparaison de ce modèle avec différentes configurations et données et modèles de la littérature seront proposés.