PDE and applications seminar | Nancy

Anisotropic Calderon’s inverse problem asks if the data given by voltage-to-current measurements on the boundary of a conducting domain can be used to uniquely determine the anisotropic conductivity in the interior of the domain. Geometric reformulated, this problem becomes: given a compact Riemannian manifold (M, g) with boundary, does the full knowledge of the Dirichlet-to-Neumann map (corresponding to the metric Laplacian -\Delta_g) determine the Riemannian metric g up to isometries fixing the boundary? In this talk, I will explain a positive answer at high frequencies, that is we will show that the D-t-N map of -\Delta_g – \lambda^2 for \lambda large enough determines the lens data, i.e. the exit points and directions of incoming geodesics (scattering data), together with travel times; under favourable geometric assumptions, this is known to determine g up to isometries. Joint work with S. Sahoo and G. Uhlmann.

Plateau’s problem is a notorious problem in Calculus of Variations and Geometric Measure Theory. In this presentation, I will introduce a phase-field approximation of Plateau’s problem, based on the coupling of the Ambrosio–Tortorelli energy with a geodesic distance penalization, which encodes the topological constraints. I will then justify this approach through a Γ-convergence result towards a formulation of Plateau’s problem in codimension one, and analyze the functional by establishing existence and regularity results for minimizers. From an analytical perspective, I will also present an analysis of the limit problem and provide a characterization of quasi-minimizers in terms of John domains. Finally, this approach is implemented in a numerical framework to approximate solutions of Plateau’s problem in various configurations, illustrating the efficiency and flexibility of the proposed model.

On preuve que les fonctions spéciales à  déformation bornée avec peu de saut sont proches dans le sens de l’énergie à  des fonctions qui sont régulières dans un domaine plus petit. Cela permet de généraliser l’inégalité de monotonie de De Giorgi, Carriero et Leaci au contexte linéarisé en dimension n et d’établir la fermeture de l’ensemble de saut pour les minimiseurs de l’énergie de Griffith.

Bernoulli’s free boundary problem is an overdetermined problem in which one seeks an annular domain such that the capacitary potential satisfies an extra boundary condition. There exist two different types of solutions: elliptic and hyperbolic solutions. Elliptic solutions are “stable” solutions and tractable by variational method and maximum principle, while hyperbolic solutions are “unstable” solutions of which the qualitative behavior is less known. I will present a recent joint work with Antoine Henrot in which we show the qualitative behavior of hyperbolic solutions by a new flow approach.

On veut expliquer la forme des oeufs d’eulimnadia, petit animal vivant dans des mares éphémères, en utilisant les outils de l’optimisation de forme. En effet, la théorie de l’évolution laisse penser que la forme des objets que l’on retrouve dans la nature résulte d’un processus d’optimisation, c’est à  dire que leur forme est telle que l’objet en question est le plus à  même de résister aux contraintes qui s’exercent sur lui. On propose un critère naturel optimisé par la forme de l’oeuf, que l’on modélise mathématiquement par un problème de minimisation de fonctionnelle de forme s’écrivant comme combinaison convexe du rayon intérieur, du diamètre et de la densité, notion que l’on définira. On présente le travail réalisé jusqu’à  présent.

Let us consider the bilinear Schr”{o}dinger equation $ipartial_t psi(t)=Apsi(t)+u(t)Bpsi(t)$ in $L^2(G,mathbb C)$ for $G$ a compact quantum graph. We assume $B$ a bounded symmetric operator, $u$ a control function and $psi^0$ is the initial state of the system. The operator $A=-Delta$ is the Laplacian equipped with self-adjoint type boundary conditions into the vertices of the graph. Provided the well-posedness of the equations, we present assumptions on $B$ and on the spectrum of $A$ implying the global exact controllability in suitable subspaces of $mathcal H$. When the previous assumptions fail, we introduce a weaker notion of controllability allows to provide interesting results also when the graph $G$ is a complex structure and we are not able to verify the spectral assumptions for the global exact controllability.”

Joint work with Z. Ammari, and F. Nier. In this work, we study how multiscale analysis and quantum mean field asymptotics can be brought together. In particular we study when a sequence of one-particle density matrices has a limit with two components: one classical and one quantum. The introduction of “separating quantization for a family” provides a simple criterion to check when those two types of limit are well separated. We give examples of explicit computations of such limits, and how to check that the separating assumption is satisfied.

Nous discutons dans cet exposé de la limite du cout du controle a zero de l’equation d’advection-diffusion $y_t-epsilon y_{xx}+ M y_x=0$ lorsque le paramètre $epsilon$ tend vers $0$. Cette limite dépend fortement du temps de contrôlabilité et du signe de M. A travers quelques remarques de nature théoriques et numériques, nous montrons à  quel point ce problème de contrôlabilité est singulier. Nous discutons notamment l’analyse asymptotique de l’équation.

Résumé

Nous présentons deux approches différentes pour construire des méthodes numériques pour les problèmes hautement oscillants, dont la précision est uniforme par rapport à  la fréquence d’oscillation. On parle dans ce cas de schémas UA (uniformly accurate). Une première méthode UA consiste à  séparer les variables rapide et lente, en rajoutant de façon adéquate une variable supplémentaire au modèle. Une deuxième méthode UA est basés sur une décomposition micro-macro qui reformule le problème en une équation moyennée à  différents ordres en la fréquence, couplée à  une équation micro satisfaite par le reste. Les propriétés de régularité uniforme par rapport à  la fréquence dont jouissent ces deux reformulations, permettent l’utilisation des méthodes numériques usuelles avec un ordre de précision indépendant de la fréquence des oscillations. Des applications en théorie cinétique (Vlasov avec Champ magnétique fort) et en mécanique quantique (Klein-Gordon et limite non-relativiste) seront présentées.

En 2005-2007 Burdzy, Caffarelli et Lin, Van den Berg ont conjecturé, dans des contextes différents, que l’asymptotique des partitions optimales d’un domaine du plan en cellules minimisant la somme (le maximum) des premières valeurs propres du Laplacien-Dirichlet est donnée par un réseau d’hexagones réguliers. Nous allons discuter l’historique de cette conjecture en présentant les arguments de Toth et Hales pour le problème du nid d’abeilles en nous allons démontrer la conjecture (du maximum) pour les valeurs propres du Laplacien-Robin. Les résultats ont été obtenus en collaboration avec I. Fragala, B. Velichkov et G. Verzini.

On présentera une séries de travaux en collaboration avec Henri Berestycki sur des systèmes de prédateurs qui interagissent entre eux et avec une seule proie. Ce système est lié au célèbre modèle de dynamique de population de Lotka et Volterra, ainsi que au modèle de Gross et Pitaevskii proposé pour l’étude des condensats de Bose-Einstein, et à  des modèles de réactions chimiques distribuées spatialement. On analysera le cas de prédateurs qui, comme les loups, peuvent se partager en meutes hostiles. Les questions qui on se posera sont de comprendre sous quelles conditions les prédateurs se partagent en meutes, s’il y a un avantage à  avoir des meutes hostiles et finalement de comparer les différents configurations qui émergent dans ce contexte. Plus précisément, on se concentra sur l’analyse des solutions stationnaires, notamment leur stabilité, et sur l’asymptotique du système quand le paramètre de compétition diverge.