PDE and applications seminar | Metz

Attention : horaires inhabituels, le séminaire aura lieu de 10h45 à 12h15 (une séance d’une heure et demie) et sera précédé d’une pause café-gâteau de 10h15 à 10h45

This is a joint work with Dan Tiba (Institute of Mathematics, Romanian Academy, dan.tiba@imar.ro).
We study the penalized steady Navier-Stokes with Neumann boundary conditions system in a holdall domain, its approximation properties (with error estimates) and the uniqueness of the solution that is obtained in a non standard manner. Numerical tests are presented.

We consider the wave propagation in a periodic structure made of a honeycomb arrangement of thin tubes. We prove the presence of Dirac points (in the dispersion surfaces of the associated operator). In addition, cutting the structure in the Zig Zag direction creates guides modes. Those results are proved by asymtptotic analysis: as the width of the tubes goes to zeros the domain tends to a graph (where explicite computations can be done). This is a joint work with Sonia Fliss (POEMS, Inria-ENSTA-CNRS).

On présente d’abord les notions de base et quelques résultats connus sur les plongements isométriques de régularité faible des variétés riemanniennes dans les espaces euclidiennes en basse dimension, sur leurs deux versants de flexibilité (h-principe) et rigidité, dont quelques résultats récents. En particulier, on note que Borisov, et le suivant, Conti-De Lellis et Székelyhidi, ont démontré la convexité de l’image d’un tel plongement dans ${\mathbb R}^3$ d’une surface sans bord si sa métrique est régulière de classe $C^{2,\beta}$, la courbure est positive, et le plongement est de classe $C^{1,\alpha}$ pour $\alpha>2/3$. On discute la généralisation de ce résultat au cas où la métrique est seulement de classe $C^{1,\alpha}$ et la courbure au sens distributionnel est seulement non-négative. Pour établir cette généralisation, une nouvelle approche moyennant l’étude de l’équation de Monge-Ampère au sens très faible devient nécessaire.

On s’intéresse à un problème de contrôle approché de l’équation de la chaleur par des “formes” : à l’aide d’un terme source donné par la fonction caractéristique d’un ensemble (variable dans le temps, de mesure uniformément bornée), on cherche à emmener la solution près d’un état final donné.

Ces contrôles très particuliers peuvent être vus comme des points extrémaux d’un certain ensemble convexe : or beaucoup de problèmes de contrôle optimal (et d’optimisation en général) ont pour minimiseurs (ou maximiseurs) des points extrémaux. Pour trouver le “bon” problème d’optimisation, on combine la dualité de Fenchel-Rockafellar, qui associe à un problème d’optimisation (dit primal) un problème dit dual, et le principe “de la baignoire”, qui concerne la maximisation sous contraintes d’un produit scalaire. Les contrôles optimaux associés à ce “bon” problème ont alors de bonnes chances d’être des formes, et de répondre ainsi à la question initiale.

La méthode de preuve permet d’étudier plus généralement la question du contrôle d’EDP avec des contraintes sur le contrainte, notamment le phénomène dit “bang-bang” : en dimension finie, il a été souvent observé que les contrôles optimaux (notamment les contrôles en temps minimal) saturent les contraintes qui leur sont imposées, et ont donc une forme plus simple (par exemple, une fonction constante par morceaux en temps). Le phénomène apparaît également en dimension infinie et nous verrons comment l’approche développée pour l’équation de la chaleur permet de l’étudier.

On considère des modèles de théorie quantique des champs décrivant l’évolution d’une particule non-relativiste couplée à un champ quantifié. L’énergie d’un tel système est associée à un opérateur auto-adjoint, un hamiltonien, agissant sur un espace de Hilbert approprié. Dans cet exposé, nous nous intéressons à la minimisation de l’énergie quasi-classique de ce système, c’est-à-dire l’énergie lorsque le champ se trouve dans un état cohérent. Les minimiseurs d’une telle énergie sont appelés états fondamentaux quasi-classiques. Nous verrons que le problème de minimisation peut se réduire à la minimisation d’une fonctionnelle de Hartree, ou d’un système couplé Maxwell-Schrödinger, selon le modèle considéré. Nous montrerons l’existence et l’unicité d’un état fondamental quasi-classique pour ces modèles. Enfin, nous verrons que ces états permettent de décomposer l’énergie fondamentale du modèle en deux parties : une quasi-classique, calculée lors de la minimisation sur les états cohérents, et une autre correspondant à la contribution des états excités.

Sur un ouvert $\Omega$ régulier, l’ensemble des fonctions lisses $C^{\infty}(\overline{\Omega})$ est dense dans les espaces de Sobolev $W^{1,p}(\Omega)$ (avec $1\leq p <\infty$). Pourtant, minimiser une fonctionnelle du calcul des variations sur $C^{\infty}(\overline{\Omega})$ ou sur $W^{1,p}(\Omega)$ peut conduire à des résultats différents: c’est le phénomène de Lavrentiev.

Il s’agit dans cet exposé d’identifier une large classe de fonctionnelles pour laquelle ce phénomène ne se produit pas. La preuve repose sur de nouvelles techniques d’approximation pour des versions paramétriques des problèmes variationnels considérés.

Dans cet exposé, nous considérons un opérateur non-auto adjoint sur un espace de Hilbert de la forme $H_0+V$ où $H_0$ est un opérateur auto-adjoint et $V$ est un opérateur borné à valeurs complexes. Nous supposons que la résolvante de $H_0$ satisfait un principe d’absorption limite et nous définissons les singularités spectrales de $H$ comme l’ensemble des points de son spectre essentiel tel que la résolvante de $H$ ne satisfait pas le principe d’absorption limite. Nous montrons alors que les singularités spectrales de $H$ sont en bijection avec des valeurs propres associées à des vecteurs propres spécifiques d’un prolongement de $H$ à un espace de Hilbert plus gros. Dans un deuxième temps, nous montrons que les états qui disparaissent à l’infini pour $H$ correspondent aux vecteurs propres généralisés de $H$ associés à des valeurs propres de partie imaginaire négative. Enfin nous définirons le sous-espace spectral absolument continu de $H$ et montrerons qu’il est égal à l’orthogonal de l’espace vectoriel engendré par tous les vecteurs propres généralisés de l’adjoint de $H$.

Des divergences apparaissent lorsque l’on cherche à effectuer des calculs en théorie des champs quantiques (comme par exemple pour la section efficace de diffusion). Il est donc essentiel de recourir à une procédure, nommée renormalisation, pour retirer ces divergences de nos modèles et obtenir des prédictions vérifiables expérimentalement.

En mathématiques, on peut décrire les modèles de théorie des champs par un Hamiltonien agissant sur un espace de Fock et dont le noyau n’est pas de carré intégrable. La procédure généralement suivie est d’abord d’introduire des coupures ultraviolettes permettant de régulariser le noyau. Ensuite, il faut démontrer que cet opérateur régularisé auquel on a soustrait un terme de compensation, converge vers un opérateur limite. Les termes de compensation généralement utilisés en mathématiques proviennent du premier ou des deux premiers ordres dans la théorie de la perturbation de grandeurs physiques telles que l’énergie de l’état fondamental. Dans cet exposé nous présenterons, sur un modèle jouet, une méthode permettant d’utiliser un nombre fini mais quelconque de termes de compensation, et donc d’ordre dans la théorie de la perturbation. Il s’agit d’un travail en cours en collaboration avec Jacob Møller.

Motivated by Tadmor’s work dedicated to multiscale image representation using hierarchical (BV,L^2) decompositions, we propose transposing their approach to the case of registration, task which consists in determining a smooth deformation aligning the salient constituents visible in an image into their counterpart in another. The underlying goal is to obtain a hierarchical decomposition of the deformation in the form of a composition of intermediate deformations: the coarser one, computed from versions of the two images capturing the essential features, encodes the main structural/geometrical deformation, while iterating the procedure and refining the versions of the two images yields more accurate deformations that map faithfully small-scale features. The proposed model falls within the framework of variational methods and hyperelasticity by viewing the shapes to be matched as Ogden materials. The material behaviour is described by means of a specifically tailored strain energy density function, complemented by L^∞ penalisations ensuring that the computed deformation is a bi-Lipschitz homeomorphism. Theoretical results emphasising the mathematical soundness of the model are provided, among which the existence of minimisers, a Γ-convergence result and an analysis of a suitable numerical algorithm, along with numerical simulations demonstrating the ability of the model to produce accurate hierarchical representations of deformations.

In this talk we present the problem of designing infinite-dimensional observers for infinite-dimensional systems. We consider the situation where only boundary measurement is available. Infinite-dimensional Luenberger-like observers are elaborated to infinite-dimensional dynamical systems in the abstract framework of semigroup systems. Exponential convergence of the proposed observers is guaranteed in the abstract framework by using the Lyapunov techniques. As examples explicit observers are worked out for PDE systems such as Euler-Bernoulli elastic beam systems and water wave systems. Thanks to observability property exponential or strong convergence of the designed observers is established with the convergence rate estimated in function of parameters of the observed systems, which is a desirable property for practical applications.