PDE and applications seminar | Metz

We consider linear waves on a bounded domain where one part of the boundary is governed by a coupled lower-dimensional wave equation (i.e., dynamic Ventcel/Wentzell boundary condition) and is subject to viscous damping. The other (possibly empty) part is left at rest. When the dynamic boundary geometrically controls the domain, we show that the total energy of classical solutions decays like 1/t. The proof relies on an analysis of high-frequency quasimodes, suitable boundary estimates obtained in different microlocal regimes, and a special decoupling argument. Optimality is assessed via an appropriate quasimode construction.

Ongoing work with Nicolas Vanspranghe (Inria team DISCO, L2S –CentraleSupélec).

Résumé à venir

Bohr’s correspondence principle asserts that the predictions of classical and quantum mechanics coincide in the limit of large quantum numbers. This connection becomes especially striking when one studies Schrödinger-type equations for initial data minimising the uncertainty principle, known as “gaussian coherent states”, in the semiclassical limit. More precisely, in the context of quantum mechanics, one can derive a complete asymptotic expansion in the semiclassical parameter for solutions of such equations. The aim of this talk is to explain how to obtain a similar result in the framework of Quantum Field Theory for a certain class on analytic interactions, with a particular stress on spatially cutoff $P(\phi)_2$ interactions.

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Résumé à venir

Joint work with Tadeusz Iwaniec and Jani Onninen

The concept of complex harmonic potential in a doubly connected planar capacitor is considered. The differential of a complex potential plays the role of a scalar potential of an electrostatic vector field. The main objective is to rule out the possibility that the differential vanishes at some points. Nevertheless, there can be critical points where the Jacobian determinant of the differential turns into zero. The latter is in marked contrast to the case of real-valued potentials. The complex harmonic capacitor (of electro-magnetic field) also admits an interpretation of the stored energy of a hyperelastic deformation.
Actually, we explore numerous results developed in this latter context.

We consider the magnetic Laplacian on non compact Riemannian manifolds which have ends of infinite volume, including for example asymptotically conical or hyperbolic manifolds. We will show how we can obtain uniform estimates for the boundary values of the resolvent of this operator in the case of high frequencies. These estimates hold in spaces with optimal weights and imply boundedness of the limiting resolvent in $L^2$ spaces with weights decaying faster than the inverse square root. In particular in this talk we will show how we can generalize a work by Cardoso and Vodev (’02) when adding perturbations of order one and zero and considering optimal weights. We will also focus on the aspects of the proof which are frequency independent.

Dans cette thèse, on s’intéresse à des modèles de théorie quantique des champs décrivant les interactions entre une particule non relativiste et un champ de radiation quantifié. En particulier, on s’intéresse à la minimisation de l’énergie quasi-classique des modèles considérés, c’est-à-dire l’énergie du système lorsque le champ se trouve dans un état cohérent. Un premier résultat concerne le modèle spin-boson, c’est un modèle simple (mais non trivial) où la particule non relativiste est décrite par un système de dimension finie et est couplée linéairement à un champ quantifié scalaire. On obtient pour ce modèle une expression explicite de l’énergie fondamentale quasi-classique et de l’ensemble des minimiseurs, pour toute valeur de la constante de couplage. On montre également que l’ensemble des minimiseurs est trivial si la constante de couplage est inférieure à une valeur critique. D’autre part, on obtient l’existence d’un état fondamental pour l’énergie lorsque le champ se trouve dans une superposition de deux états cohérents. On considère ensuite des modèles pour lesquels la particule non relativiste est décrite par un opérateur de Schrödinger. Dans le cas où le couplage entre la particule et le champ est linéaire en les opérateurs de création et d’annihilation (modèle de Nelson, modèle du Polaron), on montre l’existence et l’unicité d’un état fondamental quasi-classique associé à l’énergie quasi-classique, à symétrie de phase près. On suppose le potentiel extérieur confinant ou liant et nous n’imposons pas de troncature ultraviolette dans la définition de la fonctionnelle d’énergie. Nous obtenons ensuite un développement asymptotique de l’énergie fondamentale quasi-classique lorsque le paramètre de couplage tend vers 0. Enfin, en faisant dépendre l’énergie du paramètre ultra-violet, on montre que les états fondamentaux, ainsi que les énergies fondamentales associées convergent dans la limite ultraviolette. Dans le cas du modèle standard de l’électrodynamique quantique non relativiste, sous des hypothèses similaires, on montre l’existence d’un état fondamental quasi-classique. Nous obtenons aussi un développement asymptotique lorsque le paramètre de couplage tend vers 0 et la convergence dans la limite ultraviolette de l’énergie fondamentale.

We consider an intestinal crypt model including microbiota-derived regulations. The simplified model considers a coupled system of 2 degenerate parabolic equations with cross diffusion whose unknowns are the density of progenitor cells (pc) and stem cells (sc). Additionally, the density of deep crypt secretory (DCS) cells acts as a function that we can assume to be known and that is known to affect the population dynamics in the crypt. The inverse problem consists in determining the parameters that define the shape of the density function of the DCS cells (slopes and position), from partial measurements of stem and progenitor cells. For this, we propose a classical method of adjoint state.

The general intestinal crypt model (considering 4 cell types) was introduced by Beatrice Laroche from INRAE, France, and her PhD student Marie Haghebaert who has used BGK schemes to successfully simulate the dynamics of the phenomenon.

In this talk, I present some recent results on generalised norm resolvent convergence: Weidmann proposed such a concept by embedding everything in a common Hilbert space and consider convergence there. Another concept is to use so-called identification operators close to unitary operators. This is a joint work with Sebastian Zimmer (Uni Trier).

In this presentation, we investigate and establish the existence of bounded solutions to some classes of impulsive evolution equations with nonlocal conditions under some suitable assumptions. Possible applications to this problem include Burgers equation and the Benjamin-Bona-Mohany equation with impulses and nonlocal conditions.

Dans cet exposé, on s’intéressera à la construction de mesures de type Gibbs associées au Hamiltonien de l’équation de Schrödinger en présence d’un potentiel confinant et d’une non-linéarité focalisante. La construction de telles mesures a été initiée vers les années 70 dans le cadre de la théorie quantique des champs Euclidienne. On revisitera une construction classique due à Lebowitz-Rose-Speer dans le cas d’un domaine spatial borné et en l’absence de potentiel, ainsi que le phénomène de transition de phase qui a lieu dans ce cas. On expliquera ensuite des résultats obtenus avec Kihoon Seong (Institut Max Planck), Leonardo Tolomeo (Université d’Édimbourg) et Yuzhao Wang (Université de Birmingham) sur le cas d’un domaine infini en présence d’un potentiel harmonique, et l’absence de transition de phase dans ce cas.

La problème de Griffith est un problème à “discontinuité libre” qui intervient dans un modèle de propagation de fissure en élasticité linéarisée. Il s’agit d’une variante vectorielle de la célèbre fonctionnelle de Mumford-Shah, correspondant au cas scalaire et pour laquelle la régularité des minimiseurs est bien connue depuis les années 90. L’analogue vectoriel (Griffith) est beaucoup plus difficile à appréhender en raison de problèmes techniques que l’on tentera d’expliquer. Ensuite on présentera certains résultats partiels de régularité $C^1$ qui ont été obtenus récemment en collaboration avec Jean-François Babadjian (Paris-Saclay) et Flaviana Iurlano (Sorbonne Université) en dimension $2$, puis généralisés en dimension supérieure en collaboration avec Camille Labourie (Erlangen-Nuremberg).

Dans cet exposé, on présente une factorisation orthogonale d’une matrice sous une certaine forme échelonnée, avec un algorithme itératif associé. Cette factorisation, dédiée aux matrices par blocs, réalise un compromis entre la méthode du pivot de Gauss qui échelonne, et la décomposition en valeurs singulières qui diagonalise par transformations orthogonales. On montrera des applications en interpolation (publiées récemment avec J.-P. Croisille et M. Brachet), ainsi que des applications en optimisation multi-critère (si le temps le permet).