PDE and applications seminar | Metz

The Klein-Gordon equation has several natural Green’s functions, often called propagators. The so-called Feynman propagator, used in quantum field theory, has a clear definition on static spacetimes. I will discuss, partly on a heuristic level, its possible generalizations to the non-static case. I will also describe a curious, partly open problem about the self-adjointness of the Klein-Gordon operator. I will also describe how to compute the singularities around the diagonal using a special geometric version of pseudodifferential calculus

La tomographie réflective est une méthode émergente en imagerie optique 3D. On observe qu’elle reconstruit pertinemment une scène 3D à  partir d’images en intensité, malgré des concavités ou des occultations. Pour aller plus loin, on décrit la tomographie réflective à  l’aide d’un modèle asymptotique géométrique, dans un cadre d’intégrales fortement oscillantes. Ce modèle original est en accord avec les résultats numériques ; il décrit les parties reconstruites, et permet de cerner les artefacts. Enfin, on déduit de ce modèle asymptotique une version accélérée du solveur de reconstruction.

Nous nous intéressons dans cet exposé à  la modélisation et à  la simulation numérique des écoulements de sang et de liquide cérébro-spinal dans le cerveau, réalisées dans le cadre d’un projet ANR VIVABRAIN. En particulier, la validation des simulations numériques concernant le vivant étant une question très complexe, nous montrons dans cet exposé l’approche que nous avons choisie pour valider nos simulations d’écoulements de bio-fluides en géométries réalistes.

Nos travaux portent sur l’imagerie optique des tissus biologiques en utilisant la lumière visible ou proche IR. C’est une technique non-invasive qui consiste à  reconstruire les propriétés optiques des tissus biologiques dans le but de détecter d’éventuelles tumeurs cancéreuses. Nous utilisons l’Equation du Transfert Radiatif (ETR) comme modèle (direct) de propagation de la lumière. Une analyse de sensibilité des paramètres du modèle a montré que le facteur d’anisotropie g de la fonction de phase de Henyey-Greenstein est le paramètre le plus sensible suivi du coefficient de diffusion puis du coefficient d’absorption. Notre algorithme de reconstruction est basé sur une méthode de Quasi-Newton. Le gradient de la fonction objectif est calculé efficacement par la méthode adjointe appliquée à  l’ETR avec une approche Multi-fréquences. Lors de mon exposé, je présenterai les modèles (sans et avec fluorescence) sur lesquels nous travaillons, les méthodes numériques que nous avons développé ainsi que les résultats que nous avons obtenu sur la reconstruction 2D et 3D de nos milieux biologiques. Le facteur g, utilisé comme nouvel agent de contraste optique endogène, permet de marquer davantage les tumeurs cancéreuses.

Le résumé se trouve ici.

Applying an asymptotic method, we will establish the existence of the minimal solution to some variational elliptic inequalities defined on bounded or unbounded domains. The minimal solution is obtained as limit of solutions to some classical variational inequalities defined on domains becoming unbounded when some parameter tends to infinity (joint work with S. Guesmia and S. Harkat)

On étudie une inéquation variationnelle parabolique décrivant la dynamique d’un microsystème électromécanique (MEMS) et résultant de la prise en compte de l’hétérogénéité diélectrique du dispositif. J’esquisserai tout d’abord la provenance du modèle étudié puis décrirai les résultats obtenus pour les problèmes stationnaire et d’évolution. Travaux en commun avec Christoph Walker (Hannover).

In this talk we will discuss rational quadrature rules in a general framework. Rather than focusing on theoretical aspects, we will discuss their advantages and disadvantages for practical use compared to classical (polynomial) quadrature rules, and deal with questions like “how to chose the poles” and “when to chose rational quadrature rules over polynomial quadrature rules”. We conclude with presenting some existing algorithms to compute the nodes and weights in certain types of rational quadrature rules.

On s’intéresse à  divers types de solutions de l’équation -Δφ = exp(-φ) : solutions infinies sur le bord du domaine, ou définies dans un domaine non-borné… en présence de singularités. Ces solutions interviennent dans l’étude de l’équilibre électrostatique d’un plasma au voisinage d’une pointe conductrice.

Dans cet exposé, on discutera différents aspects de l’opérateur de Dirac en dimension trois, couplé à  un potentiel singulier supporté sur une surface. Après avoir motivé l’étude de tels objets, on s’intéressera brièvement au problème d’auto-adjonction pour des potentiels singuliers de type électrostatique ou de type scalaire de Lorentz. Pour cette dernière classe de potentiels, on étudiera la structure du spectre d’un tel opérateur et en particulier, on montrera que lorsque la masse de la particule tend vers l’infini, dans le cas d’un potentiel attractif, les valeurs propres se comportent au premier ordre comme les valeurs propres d’un opérateur effectif sur la surface. On verra que cet opérateur effectif est en fait un opérateur de Schrödinger avec champ de Yang-Mills couplé à  un potentiel électrique, le champ et le potentiel étant tous deux de nature géométrique. Il s’agit de travaux en collaboration avec Markus Holzmann, Konstantin Pankrashkin et Luis Vega. [1.] A strategy for self-adjointness of Dirac operators: applications to the MIT bag model and delta-shell interactions, with Luis Vega, 30p., to appear in Publicacions Matemà tiques, arXiv:1612.07058, 2016. [2.] Dirac operators with Lorentz scalar shell interactions, with Markus Holzmann and Konstantin Pankrashkin, 41 p., submitted, arXiv:1711.00746, 2017.