PDE and applications seminar | Metz

Attention : horaires inhabituels, le séminaire aura lieu de 10h45 à 12h15 (une séance d’une heure et demie) et sera précédé d’une pause café-gâteau de 10h15 à 10h45

Nous rappellerons le formalisme Hilbertien de la mécanique quantique avant d’introduire des objets mathématiques spécifiques à la théorie quantique des champs : l’espace de Fock, les opérateurs de création, d’annihilation, de champ.
Nous illustrerons ce formalisme par l’exemple du Hamiltonien de Pauli-Fierz qui décrit un électron en interaction avec un champ de photons.

Nous rappellerons le formalisme Hilbertien de la mécanique quantique avant d’introduire des objets mathématiques spécifiques à la théorie quantique des champs : l’espace de Fock, les opérateurs de création, d’annihilation, de champ.
Nous illustrerons ce formalisme par l’exemple du Hamiltonien de Pauli-Fierz qui décrit un électron en interaction avec un champ de photons.

Le groupe de travail aura lieu exceptionnellement en salle de réunion (ARC-027).

Le système d’Euler-Korteweg (compressible) est une perturbation dispersive des équations d’Euler modélisant les effets de la capillarité. Il peut se voir comme une équation de Schrödinger quasilinéaire dégénéré, et dans certains cas particuliers, est équivalent à l’équation de Schrödinger non linéaire via un changement de variable, la transformation de Madelung.
On discutera dans cet exposé de quelques résultats sur la dynamique des solutions que cette analogie laisse espérer (soliton, scattering, limite “semi classique”), certains étant maintenant des théorèmes.

The Mirror Sweeping Process is a constrained differential Inclusion involving a normal cone to a moving set.
In this talk, we present the well-posedness theory for this dynamical system under different sets of assumptions. We also discuss some applications to online optimization and possible extensions to other fields.

Joint work with Tadeusz Iwaniec and Jani Onninen

The concept of complex harmonic potential in a doubly connected planar capacitor is considered. The differential of a complex potential plays the role of a scalar potential of an electrostatic vector field. The main objective is to rule out the possibility that the differential vanishes at some points. Nevertheless, there can be critical points where the Jacobian determinant of the differential turns into zero. The latter is in marked contrast to the case of real-valued potentials. The complex harmonic capacitor (of electro-magnetic field) also admits an interpretation of the stored energy of a hyperelastic deformation.
Actually, we explore numerous results developed in this latter context.

We consider the magnetic Laplacian on non compact Riemannian manifolds which have ends of infinite volume, including for example asymptotically conical or hyperbolic manifolds. We will show how we can obtain uniform estimates for the boundary values of the resolvent of this operator in the case of high frequencies. These estimates hold in spaces with optimal weights and imply boundedness of the limiting resolvent in $L^2$ spaces with weights decaying faster than the inverse square root. In particular in this talk we will show how we can generalize a work by Cardoso and Vodev (’02) when adding perturbations of order one and zero and considering optimal weights. We will also focus on the aspects of the proof which are frequency independent.

Dans cette thèse, on s’intéresse à des modèles de théorie quantique des champs décrivant les interactions entre une particule non relativiste et un champ de radiation quantifié. En particulier, on s’intéresse à la minimisation de l’énergie quasi-classique des modèles considérés, c’est-à-dire l’énergie du système lorsque le champ se trouve dans un état cohérent. Un premier résultat concerne le modèle spin-boson, c’est un modèle simple (mais non trivial) où la particule non relativiste est décrite par un système de dimension finie et est couplée linéairement à un champ quantifié scalaire. On obtient pour ce modèle une expression explicite de l’énergie fondamentale quasi-classique et de l’ensemble des minimiseurs, pour toute valeur de la constante de couplage. On montre également que l’ensemble des minimiseurs est trivial si la constante de couplage est inférieure à une valeur critique. D’autre part, on obtient l’existence d’un état fondamental pour l’énergie lorsque le champ se trouve dans une superposition de deux états cohérents. On considère ensuite des modèles pour lesquels la particule non relativiste est décrite par un opérateur de Schrödinger. Dans le cas où le couplage entre la particule et le champ est linéaire en les opérateurs de création et d’annihilation (modèle de Nelson, modèle du Polaron), on montre l’existence et l’unicité d’un état fondamental quasi-classique associé à l’énergie quasi-classique, à symétrie de phase près. On suppose le potentiel extérieur confinant ou liant et nous n’imposons pas de troncature ultraviolette dans la définition de la fonctionnelle d’énergie. Nous obtenons ensuite un développement asymptotique de l’énergie fondamentale quasi-classique lorsque le paramètre de couplage tend vers 0. Enfin, en faisant dépendre l’énergie du paramètre ultra-violet, on montre que les états fondamentaux, ainsi que les énergies fondamentales associées convergent dans la limite ultraviolette. Dans le cas du modèle standard de l’électrodynamique quantique non relativiste, sous des hypothèses similaires, on montre l’existence d’un état fondamental quasi-classique. Nous obtenons aussi un développement asymptotique lorsque le paramètre de couplage tend vers 0 et la convergence dans la limite ultraviolette de l’énergie fondamentale.

We consider an intestinal crypt model including microbiota-derived regulations. The simplified model considers a coupled system of 2 degenerate parabolic equations with cross diffusion whose unknowns are the density of progenitor cells (pc) and stem cells (sc). Additionally, the density of deep crypt secretory (DCS) cells acts as a function that we can assume to be known and that is known to affect the population dynamics in the crypt. The inverse problem consists in determining the parameters that define the shape of the density function of the DCS cells (slopes and position), from partial measurements of stem and progenitor cells. For this, we propose a classical method of adjoint state.

The general intestinal crypt model (considering 4 cell types) was introduced by Beatrice Laroche from INRAE, France, and her PhD student Marie Haghebaert who has used BGK schemes to successfully simulate the dynamics of the phenomenon.

In this talk, I present some recent results on generalised norm resolvent convergence: Weidmann proposed such a concept by embedding everything in a common Hilbert space and consider convergence there. Another concept is to use so-called identification operators close to unitary operators. This is a joint work with Sebastian Zimmer (Uni Trier).

In this presentation, we investigate and establish the existence of bounded solutions to some classes of impulsive evolution equations with nonlocal conditions under some suitable assumptions. Possible applications to this problem include Burgers equation and the Benjamin-Bona-Mohany equation with impulses and nonlocal conditions.