PDE and applications seminar | Metz

Attention : horaires inhabituels, le séminaire aura lieu de 10h45 à 12h15 (une séance d’une heure et demie) et sera précédé d’une pause café-gâteau de 10h15 à 10h45

Dans cet exposé, on s’intéressera à la construction de mesures de type Gibbs associées au Hamiltonien de l’équation de Schrödinger en présence d’un potentiel confinant et d’une non-linéarité focalisante. La construction de telles mesures a été initiée vers les années 70 dans le cadre de la théorie quantique des champs Euclidienne. On revisitera une construction classique due à Lebowitz-Rose-Speer dans le cas d’un domaine spatial borné et en l’absence de potentiel, ainsi que le phénomène de transition de phase qui a lieu dans ce cas. On expliquera ensuite des résultats obtenus avec Kihoon Seong (Institut Max Planck), Leonardo Tolomeo (Université d’Édimbourg) et Yuzhao Wang (Université de Birmingham) sur le cas d’un domaine infini en présence d’un potentiel harmonique, et l’absence de transition de phase dans ce cas.

La problème de Griffith est un problème à “discontinuité libre” qui intervient dans un modèle de propagation de fissure en élasticité linéarisée. Il s’agit d’une variante vectorielle de la célèbre fonctionnelle de Mumford-Shah, correspondant au cas scalaire et pour laquelle la régularité des minimiseurs est bien connue depuis les années 90. L’analogue vectoriel (Griffith) est beaucoup plus difficile à appréhender en raison de problèmes techniques que l’on tentera d’expliquer. Ensuite on présentera certains résultats partiels de régularité $C^1$ qui ont été obtenus récemment en collaboration avec Jean-François Babadjian (Paris-Saclay) et Flaviana Iurlano (Sorbonne Université) en dimension $2$, puis généralisés en dimension supérieure en collaboration avec Camille Labourie (Erlangen-Nuremberg).

Dans cet exposé, on présente une factorisation orthogonale d’une matrice sous une certaine forme échelonnée, avec un algorithme itératif associé. Cette factorisation, dédiée aux matrices par blocs, réalise un compromis entre la méthode du pivot de Gauss qui échelonne, et la décomposition en valeurs singulières qui diagonalise par transformations orthogonales. On montrera des applications en interpolation (publiées récemment avec J.-P. Croisille et M. Brachet), ainsi que des applications en optimisation multi-critère (si le temps le permet).

Dans cet exposé, on présente une factorisation orthogonale d’une matrice sous une certaine forme échelonnée, avec un algorithme itératif associé. Cette factorisation, dédiée aux matrices par blocs, réalise un compromis entre la méthode du pivot de Gauss qui échelonne, et la décomposition en valeurs singulières qui diagonalise par transformations orthogonales. On montrera des applications en interpolation (publiées récemment avec J.-P. Croisille et M. Brachet), ainsi que des applications en optimisation multi-critère (si le temps le permet).

Le système de Vlasov-Navier-Stokes est un couplage fluide/cinétique décrivant l’évolution d’un aérosol au sein d’un fluide. Dans le contexte de l’aérosolthérapie, l’absorption est la condition aux bords la plus adéquate pour la phase dispersée, en raison de la présence de mucus sur les voies aériennes pulmonaires. En gardant ce cadre applicatif à l’esprit, on s’interrogera sur la possibilité de récupérer cette condition au bord par l’étude du même système dans tout l’espace, dans une limite (localisée) de grande viscosité, en utilisant la théorie des traces renormalisées de Boyer-Mischler pour les équations de transport.

L’interpolation et l’approximation de fonctions définies sur la sphère sont des questions classiques en analyse harmonique et en analyse numérique.
Elles interviennent de façon essentielle dans de nombreux domaines en physique et en chimie: climatologie sur la sphère terrestre, chimie quantique, neutronique, analyse des données sur la sphère, etc.
On présente ici un algorithme de calcul en harmoniques sphériques associé à une grille sphérique particulière, la “Cubed Sphere” équiangulaire.
Différentes applications seront également présentées, dont des formules de quadrature sphériques.

Il s’agit d’un travail avec Jean-Baptiste Bellet et Matthieu Brachet.

Le système de Vlasov-Navier-Stokes est un couplage fluide/cinétique décrivant l’évolution d’un aérosol au sein d’un fluide. Dans le contexte de l’aérosolthérapie, l’absorption est la condition aux bords la plus adéquate pour la phase dispersée, en raison de la présence de mucus sur les voies aériennes pulmonaires. En gardant ce cadre applicatif à l’esprit, on s’interrogera sur la possibilité de récupérer cette condition au bord par l’étude du même système dans tout l’espace, dans une limite (localisée) de grande viscosité, en utilisant la théorie des traces renormalisées de Boyer-Mischler pour les équations de transport.

We are discussing the weak solvability of the fourth-order elliptic problems with variable exponents. When dealing with variable exponent problems, we can cover situations that cannot occur when treating constant exponent problems. Here we consider nonhomogeneous differential operators that extend the p(x)-biharmonic operators and we work on a class of general domains that includes both smooth and non-smooth domains.

We investigate the energy decay of hyperbolic system of wave-wave with generalized acoustic boundary conditions in N-dimensional space, with the equations being coupled through boundary connection. First, by spectrum approach combining with a general criteria of Arendt-Batty, we prove that our model is strongly stable. Then, after proving that this system lacks the exponential stability, we establish different type of polynomial energy decay rates provided that the coefficients of the acoustic boundary conditions satisfy some assumptions. Further, we present some appropriate examples and show that our assumptions have been set correctly. Finally, we prove that the obtained energy decay rate is optimal in particular case.