PDE and applications seminar | Metz

Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux solutions radiales d’un modèle de chimiotaxie dans une boule, plus précisément à  un système parabolique-elliptique de type Keller-Segel avec sensitivité non-linéaire critique. Celui-ci est une généralisation du cas « linéaire » bien connu qui admet 8 pi comme masse critique. En dimension plus grande que deux, on verra que le système présente aussi un phénomène de masse critique mais avec de fortes différences qualitatives, notamment dans le cas de la masse critique. De plus, ce système peut être vu comme un flot gradient sur une « variété Riemannienne de dimension infinie ». Dans le cas sous-critique, en s’aidant de cette interprétation, on peut montrer que la convergence uniforme vers l’unique solution stationnaire a lieu à  vitesse exponentielle.

In this work, we consider two coupled abstract linear evolution equations with one infinite memory acting on the first equation. Under a boundedness condition on the past history data, we prove that the stability of our abstract system holds for convolution kernels having much weak decays than the exponential one considered in the literature. The general and precise decay estimate of solution we obtain depends on the growth of the convolution kernel at infinity and the regularity of the initial data. We also present various applications to some hyperbolic distributed coupled systems such as wave-wave, Petrovsky-Petrovsky, wave-Petrovsky and elasticity-elasticity.

The talk will be on the discretization of Navier-Stokes equations to simulate the dynamic of a fluid, a mesh adaptivity technique to capture multiple-shocks based on shock-filtering model will be presented. The talk will finish with some industrial applications.

Je présenterai un problème d’homogénéisation avec inclusions qui m’a conduit à  trouver des inégalités de Korn unilatérales utilisant la partie positive de la composante normale (et pour les domaines invariants par rotation une partie de la composante tangentielle). Je montrerai comment les établir simplement, et en même temps toute une série d’inégalités de Korn.

Résumé

Les espaces de Sobolev d’applications à  valeurs dans le cercle unité apparaissent dans l’étude de la supraconductivité ou du micromagnétisme. Je décrirai la structure de ces espaces. La description fait intervenir une ou deux phases et un ensemble singulier. Parmi les applications directe de ce théorème de structure, il y a la théorie des traces pour des applications unimodulaires et la solution partielle du problème de la racine carrée. La suite de l’exposé va porter sur le contrôle des phases, avec applications à  l’existence de solutions de problèmes variationnels critiques

We present results concerning the rigorous analysis of the vanishing viscosity limit and associated boundary layer for certain classes of non-linear, 3D flows in pipes and channels.

Résumé

Let $varOmega$ be a domain in ${mathbb R}^n$ with $ngeq 2$ and $0in varOmega$. We study anisotropic elliptic equations such as $-sum_{i=1}^n,partial_{x_i} (|partial_{x_i} u|^{p_i-2}partial_{x_i} u)=delta_0$ in $varOmega$ (with Dirac mass $delta_0$ at zero), subject to $u=0$ on $partialvarOmega$. We assume that all $p_i$ are in $(1,infty)$ with their harmonic mean $p$ satisfying either Case 1: $p < n$ and $max_{1leq ileq n}{p_i}<frac{p(n-1)}{n-p}$ or Case 2: $p=n$ and $varOmega$ is bounded. We introduce a suitable notion of fundamental solution and establish its existence, together with sharp pointwise upper bound estimates near the origin for the solution and its derivatives. The latter is based on a Moser-type iteration scheme specific to each case, which is intricate due to our anisotropic analogue of the reverse H"older inequality. This is joint work with Jérôme Vétois (University of Nice)."

Energie fondamentale du Laplacien magnétique dans des ouverts à  coins

L’opérateur de Laplace magnétique s’écrit
$$
(-ihnabla+A)^2
$$
o๠$A$ est un potentiel magnétique et $h$ un paramètre destiné à  tendre vers 0. Cet opérateur est complété par les conditions de Neumann sur le bord du domaine. Le domaine est supposé appartenir à  une certaine classe géenérale d’ouverts à  coins. Cette classe contient en particulier les polyèdres, les domaines coniques et les domaines réguliers.

Le comportement de la première valeur propre de l’opérateur magnétique quand $hto0$ est gouverné par une hiérarchie de problèmes modèles posés sur les cones tangents au domaine. Nous explorons les propriétés de ces problèmes modèles en dimension 3 d’espace (continuité, semi-continuité, existence de fonctions propres gén’eralisées). Nous démontrons des formules asymptotiques avec reste pour la première valeur propre magnétique en fonction de $h$.

Les bornes inférieures sont obtenues à  l’aide d’une partition IMS à  deux échelles, alors que les bornes supérieures sont établies grâce à  une nouvelle construction de quasimodes qualifiés d’assis (sitting) ou glissants (sliding) selon les propriétés spectrales des problèmes modèles.

Exposé basé sur l’article en commun avec Virginie Bonnaillie-Noà«l et Nicolas Popoff,
“Ground state energy of the magnetic Laplacian on general three-dimensional corner domains”, disponible sur arXiv, http://fr.arxiv.org/abs/1403.7043