PDE and applications seminar | Metz

We consider linear waves on a bounded domain where one part of the boundary is governed by a coupled lower-dimensional wave equation (i.e., dynamic Ventcel/Wentzell boundary condition) and is subject to viscous damping. The other (possibly empty) part is left at rest. When the dynamic boundary geometrically controls the domain, we show that the total energy of classical solutions decays like 1/t. The proof relies on an analysis of high-frequency quasimodes, suitable boundary estimates obtained in different microlocal regimes, and a special decoupling argument. Optimality is assessed via an appropriate quasimode construction.

Ongoing work with Nicolas Vanspranghe (Inria team DISCO, L2S –CentraleSupélec).

Résumé à venir

Bohr’s correspondence principle asserts that the predictions of classical and quantum mechanics coincide in the limit of large quantum numbers. This connection becomes especially striking when one studies Schrödinger-type equations for initial data minimising the uncertainty principle, known as “gaussian coherent states”, in the semiclassical limit. More precisely, in the context of quantum mechanics, one can derive a complete asymptotic expansion in the semiclassical parameter for solutions of such equations. The aim of this talk is to explain how to obtain a similar result in the framework of Quantum Field Theory for a certain class on analytic interactions, with a particular stress on spatially cutoff $P(\phi)_2$ interactions.

Résume à venir

Résumé à venir

In this talk, starting from the paper of R. Brizzi et J.P. Chalot on problems in domains with strongly oscillating boundaries, I shall recall the contribution with D. Blanchard on this subject and I shall present recent results obtained with O. Guibé.

A domain with strongly oscillating boundary is a domain whose boundary
presents numerous asperities. The asperities have fixed height, a size
depending on a small parameter $varepsilon$ and $varepsilon$-periodic
structure.

Boundary-value problems in such a domain arise in many fields of biology,
physics and engineering sciences. It is often impossible to approach these
problems directly with numerical methods, because the rough boundary
requires a large number of mesh points in its neighborhood. Thus, the
computational cost associated to such a problem grows rapidly when
$varepsilon$ gets smaller. Moreover, it can occur that the required
discretization step becomes too small for the machine precision. Then, the
goal is to replace the problem, when the periodicity $varepsilon$ gets
smaller, with a model in a “more regular” domain $Omega$ which can be
numerically solved.

On étudie l’existence de solutions de certains problèmes faisant intervenir l’exposant critique de Sobolev et avec un poids. On étudie également la multiplicité des solutions du problème dans le cas o๠l’ensemble des minima du poids admet plusieurs composantes connexes. On s’intéresse aussi au cas o๠cet ensemble possède une seule composante connexe et une topologie complexe.

Dans cet exposé je présenterai différents résultats concernant l’existence (ou la non-existence) de valeurs propres discrètes pour le Laplacien défini sur un domaine tubulaire donné à  partir d’un guide droit déformé par torsion le long son axe longitudinal.

We study particulate flows or suspensions of solid particles in a viscous incompressible fluid in the presence of highly oscillatory, velocity dependent, surface forces. The flow at a small Reynolds number is modeled by the Stokes equations coupled with the motion of rigid particles. The objective is to perform homogenization for the given suspension and obtain an equivalent description of a homogeneous (effective) medium and determine the effective viscosity and the macroscopic effect of the surface forces.

La ‘Cubed-Sphere” est un maillage de la sphere base sur le cube qui la contient. Ce maillage presente des avantages pour les methodes numeriques. Nous presentons une famille d’approximations de type “schemas compacts” sur ce maillage. Les operateurs surfaciques gradient, divergence, Laplacien sont approches a l’ordre 4. Cela permet d’envisager des schemas naturels pour des modeles importants pour la climatologie tels que les equations de Saint-Venant sur la sphere en rotation. Un point complet sera presente sur les resultats obtenus sur ces questions.

Les matériaux ferromagnétiques sont caractérisés par une aimantation spontanée qui a tendance à  se structurer en domaines séparés par des structures fines appelées murs. Cette propriété est utilisée dans les fils ferromagnétiques pour l’enregistrement de données numériques. Après avoir construit un modèle monodimensionnel de fils ferromagnétiques, on donnera une description précise de la dynamique des murs lorsque le fil est soumis à  un champ magnétique.