PDE and applications seminar | Metz

Résumé à venir

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Kernel-based methods are central to modern data analysis, supporting nonlinear regression, forecasting, and advanced function approximations and extensions. Here, we introduce two multiscale kernel constructions, adapted for three distinct application settings, each centered
around function approximations and extension schemes.

First, a multiscale iterative scheme is used to enhance coarse-grid finite-difference computations, enabling accurate fine-grid solutions. This same iterative scheme is also employed in a spatiotemporal kernel regression model, which fuses information from multiple spatial locations. This approach yields accurate forecasts across diverse real-world datasets, including solar energy productions, epidemiological trends, and fire-events dynamics.
Finally, a second construction uses high-order multiscale kernels, which are constructed via combinations of scaled Gaussians. This approach preserves more spectral energy in the leading modes and enhances Nyström-type extensions and out-of-sample embeddings in manifoldlearning settings.
Altogether, these contributions offer a unified multiscale perspective. By capturing data geometry with kernels and transferring information across scales and modalities, the framework enables a robust yet simple scheme for approximations and extensions. This approach is readily applicable to a wide range of scientific problems.

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Sur quelques exemples simples de contrôle de systèmes d’équations paraboliques, quelques faits inhabituels dans le cas scalaire surgissent. Il apparaît que contrôlabilité approchée et contrôlabilité aux trajectoires ne sont pas toujours équivalentes, qu’il peut apparaître un temps minimal de contrôle et que contrôlabilité par le bord et contrôlabilité interne ne se déduisent pas l’une de l’autre et ne sont pas équivalentes.

Résumé

Dans cet exposé, on présentera certains résultats sur le comportement en temps grand des solutions des équations de réaction-diffusion, dont le terme de réaction dépend de la variable $x-ct$, la position dans un repère mobile. Ces équations peuvent être comprises comme des modèles simplistes de dynamique de populations sous l’influence d’un changement climatique. On montrera en particulier qu’en présence d’un effet Allee faible (corrélation positive entre le taux de croissance d’une population et sa densité), la taille de la population initiale est cruciale pour la survie de l’espèce, ce qui n’est pas le cas pour une équation homogène semblable. Je consacrerai également une partie de cet exposé à  une présentation de certains résultats classiques sur le comportement en temps grand des solutions des équations de réaction-diffusion dans le cas homogène.

Le problème spectral de Cosserat vient de la mécanique de la fin du 19e siècle, mais par ses relations avec la condition LBB et les équations de Stokes il a récemment gagné en popularité. En présence de coins, il existe un spectre essentiel causé par les singularités de coin des fonctions propres. Si ces singularités se déterminent bien par la théorie classique de Kondratev, leur rôle pour le spectre et son approximation numérique est original. Je présenterai des resultants récents théoriques et expérimentaux sur la convergence (ou non-convergence) de diverses approximations.

On montre la décroissance de l’énergie locale pour l’équation des ondes dans un guide d’onde avec dissipation constante au bord. On observe que l’onde se comporte en fait en temps grand comme la solution d’une équation de la chaleur. La preuve repose sur des estimées de résolvante. Comme les fonctions propres du problème transverse ne forment pas une base de Riesz, l’analyse spectrale ne se réduit pas de façon évidente à  des études “séparées” sur des domaines compacts et euclidiens.

Dans cet exposé, on présentera une nouvelle approche de l’utilisation de conditions aux limites transparentes pour l’équation de Schrödinger et l’équation des ondes linéaires. L’idée est de pouvoir les rendre locales en considérant une inconnue auxiliaire qui sera calculée sur tout le domaine et liée à  la solution de l’équation initiale par un couplage linéaire et local sur le bord. On présentera des résultats numériques en dimensions 1 et 2, sur des demi-espaces et des quarts de plan, la difficulté de ce dernier cas étant la présence d’une singularité géométrique.

Je décrirai des résultats récents sur des versions nonlocales d’une conjecture célèbre de De Giorgi sur la régularité des ensembles de niveau de solutions d’équations elliptiques. Dans un premier temps, on s’intéresse au laplacien fractionnaire puis je décrirai le cas d’opérateurs plus généraux pour lesquels une extension a la Caffarelli-Silvestre n’est pas disponible. 

Nous présenterons un code de calcul robuste, efficace et avec un excellent passage à  l’échelle : G.P.S. (Gross-Pitaevskii Solver). GPS est un code qui peut aussi bien calculer des solutions stationnaire ou dépendantes du temps à  l’équation Gross-Pitaevskii, et permet ainsi d’étudier soit les condensats de Bose-Einstein (BEC), ou bien de la “turbulence superfluide” par exemple, ces phénomènes étant parmi les plus étudiés de la physique quantique. Afin d’obtenir des solutions les plus précises possibles, nous utilisons des schémas quasi spectraux pour la discrétisation des opérateurs différentiels. Dans le but de pouvoir utiliser aussi bien la machine de bureau la plus simple, que le supercalculateur le plus puissant du monde, nous avons implémenté deux schémas de communication MPI, ainsi qu’une programmation hybride à  l’aide de la librairie OpenMP. L’addition de schémas de très haute précision et la possibilité de pouvoir utiliser un raffinement de maillage très fin (jusqu’à  2048^3), nous permet de pouvoir reproduire des résultats expérimentaux avec une précision très satisfaisante.

Partant du XIXè problème de Hilbert sur l’analyticité des minimiseurs de fonctionnelles convexes, je présenterai des résultats de classification des solutions de l’équation de Lane-Emden, posée sur une bande ou sur un cône.

Nous présenterons la philosophie du calcul paracontrollé, introduit récemment par Gubinelli, Imkeller et Perkowski. Celui-ci peut être pensé comme une amélioration du calcul pseudo-différentiel, pour suivre l’intéraction d’une singularité. Nous verrons comment cela peut être utilisé pour l’étude d’EDPs singulières (stochastiques), dont le prototype est le modèle gPAM (generalized Parabolic Anderson Model). Puis, on expliquera comment on peut se soustraire du cadre Euclidien et définir un calcul paracontrollé dans un cadre métrique-mesuré associé à  un semigroupe d’opérateurs.