PDE and applications seminar | Metz

Dans cet exposé, on présentera certains résultats sur le comportement en temps grand des solutions des équations de réaction-diffusion, dont le terme de réaction dépend de la variable $x-ct$, la position dans un repère mobile. Ces équations peuvent être comprises comme des modèles simplistes de dynamique de populations sous l’influence d’un changement climatique. On montrera en particulier qu’en présence d’un effet Allee faible (corrélation positive entre le taux de croissance d’une population et sa densité), la taille de la population initiale est cruciale pour la survie de l’espèce, ce qui n’est pas le cas pour une équation homogène semblable. Je consacrerai également une partie de cet exposé à  une présentation de certains résultats classiques sur le comportement en temps grand des solutions des équations de réaction-diffusion dans le cas homogène.

Le problème spectral de Cosserat vient de la mécanique de la fin du 19e siècle, mais par ses relations avec la condition LBB et les équations de Stokes il a récemment gagné en popularité. En présence de coins, il existe un spectre essentiel causé par les singularités de coin des fonctions propres. Si ces singularités se déterminent bien par la théorie classique de Kondratev, leur rôle pour le spectre et son approximation numérique est original. Je présenterai des resultants récents théoriques et expérimentaux sur la convergence (ou non-convergence) de diverses approximations.

On montre la décroissance de l’énergie locale pour l’équation des ondes dans un guide d’onde avec dissipation constante au bord. On observe que l’onde se comporte en fait en temps grand comme la solution d’une équation de la chaleur. La preuve repose sur des estimées de résolvante. Comme les fonctions propres du problème transverse ne forment pas une base de Riesz, l’analyse spectrale ne se réduit pas de façon évidente à  des études “séparées” sur des domaines compacts et euclidiens.

Dans cet exposé, on présentera une nouvelle approche de l’utilisation de conditions aux limites transparentes pour l’équation de Schrödinger et l’équation des ondes linéaires. L’idée est de pouvoir les rendre locales en considérant une inconnue auxiliaire qui sera calculée sur tout le domaine et liée à  la solution de l’équation initiale par un couplage linéaire et local sur le bord. On présentera des résultats numériques en dimensions 1 et 2, sur des demi-espaces et des quarts de plan, la difficulté de ce dernier cas étant la présence d’une singularité géométrique.

Je décrirai des résultats récents sur des versions nonlocales d’une conjecture célèbre de De Giorgi sur la régularité des ensembles de niveau de solutions d’équations elliptiques. Dans un premier temps, on s’intéresse au laplacien fractionnaire puis je décrirai le cas d’opérateurs plus généraux pour lesquels une extension a la Caffarelli-Silvestre n’est pas disponible. 

Nous présenterons un code de calcul robuste, efficace et avec un excellent passage à  l’échelle : G.P.S. (Gross-Pitaevskii Solver). GPS est un code qui peut aussi bien calculer des solutions stationnaire ou dépendantes du temps à  l’équation Gross-Pitaevskii, et permet ainsi d’étudier soit les condensats de Bose-Einstein (BEC), ou bien de la “turbulence superfluide” par exemple, ces phénomènes étant parmi les plus étudiés de la physique quantique. Afin d’obtenir des solutions les plus précises possibles, nous utilisons des schémas quasi spectraux pour la discrétisation des opérateurs différentiels. Dans le but de pouvoir utiliser aussi bien la machine de bureau la plus simple, que le supercalculateur le plus puissant du monde, nous avons implémenté deux schémas de communication MPI, ainsi qu’une programmation hybride à  l’aide de la librairie OpenMP. L’addition de schémas de très haute précision et la possibilité de pouvoir utiliser un raffinement de maillage très fin (jusqu’à  2048^3), nous permet de pouvoir reproduire des résultats expérimentaux avec une précision très satisfaisante.

Partant du XIXè problème de Hilbert sur l’analyticité des minimiseurs de fonctionnelles convexes, je présenterai des résultats de classification des solutions de l’équation de Lane-Emden, posée sur une bande ou sur un cône.

Nous présenterons la philosophie du calcul paracontrollé, introduit récemment par Gubinelli, Imkeller et Perkowski. Celui-ci peut être pensé comme une amélioration du calcul pseudo-différentiel, pour suivre l’intéraction d’une singularité. Nous verrons comment cela peut être utilisé pour l’étude d’EDPs singulières (stochastiques), dont le prototype est le modèle gPAM (generalized Parabolic Anderson Model). Puis, on expliquera comment on peut se soustraire du cadre Euclidien et définir un calcul paracontrollé dans un cadre métrique-mesuré associé à  un semigroupe d’opérateurs.

On considère l’équation de Schrödinger non-linéaire sur un domaine borné en dimension deux. On montre comment on peut utiliser les polynômes de Laguerre et de Hermite pour renormaliser la non-linéarité (renormalisation de Wick). Ensuite, grâce à  des méthodes de compacité, on construit des solutions globales à  NLS sur le support de la mesure. Ceci et un travail en commun avec Tadahiro Oh (Edimbourg).

La théorie des perturbations des opérateurs linéaires a été introduite par Rayleigh dans les années 1870, et a été utilisée pour la première fois en mécanique quantique dans un article publié par Schrödinger en 1926. L’étude mathématique des perturbations d’opérateurs auto-adjoints a été amorcée par Rellich en 1937, et a fait depuis lors l’objet de très nombreuses publications. La théorie des perturbations des problèmes aux valeurs propres non linéaires joue un rôle important en physique et chimie quantique, o๠elle est utilisée en particulier pour calculer la réponse d’une molécule ou d’un matériau à  un champ électro-magnétique extérieur (polarisabilité, hyperpolarisabilités, susceptibilité magnétique, rotation optique, résonance magnétique, …) dans le cadre de modèles de champ moyen. Dans cet exposé, je rappellerai les bases mathématiques de la théorie des perturbations des opérateurs linéaires, je présenterai quelques résultats théoriques récents relatifs aux perturbations des problèmes aux valeurs propres non linéaires et je montrerai que cette approche peut être utilisée pour accélérer les simulations numériques.