PDE and applications seminar | Metz

Résumé à venir

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Kernel-based methods are central to modern data analysis, supporting nonlinear regression, forecasting, and advanced function approximations and extensions. Here, we introduce two multiscale kernel constructions, adapted for three distinct application settings, each centered
around function approximations and extension schemes.

First, a multiscale iterative scheme is used to enhance coarse-grid finite-difference computations, enabling accurate fine-grid solutions. This same iterative scheme is also employed in a spatiotemporal kernel regression model, which fuses information from multiple spatial locations. This approach yields accurate forecasts across diverse real-world datasets, including solar energy productions, epidemiological trends, and fire-events dynamics.
Finally, a second construction uses high-order multiscale kernels, which are constructed via combinations of scaled Gaussians. This approach preserves more spectral energy in the leading modes and enhances Nyström-type extensions and out-of-sample embeddings in manifoldlearning settings.
Altogether, these contributions offer a unified multiscale perspective. By capturing data geometry with kernels and transferring information across scales and modalities, the framework enables a robust yet simple scheme for approximations and extensions. This approach is readily applicable to a wide range of scientific problems.

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Durant ce séminaire nous considérerons une famille d’opérateurs de Schrödinger étant formellement homogènes sous le groupe des dilatations. Une fois mieux définis la majorité de ces opérateurs perdent cette propriété. Nous étudierons alors les propriétés spectrales de ces opérateurs, qui ne sont généralement pas auto-adjoints et proposerons certaines formules pour la théorie de la diffusion. Cette étude est intimement liée aux fonctions de Bessel, et certaines de leurs relations peuvent être réinterprétées dans le cadre de l’étude de ces opérateurs.

Résumé

We investigate the existence of solutions to a nonlinear elliptic problem involving the critical Sobolev exponent for a Polyharmomic operator on a Riemannian manifold   M. We first show that the best constant of the Sobolev embedding on a manifold can be chosen as close as one wants to the Euclidean one, and as a consequence derive the existence of minimizers when the energy functional goes below a quantified threshold. Next, higher energy solutions are obtained by Coron’s topological method, provided that the minimizing solution does not exist and the manifold satisfies a certain topological assumption. To perform the topological argument, we obtain a decomposition of Palais-Smale sequences as a sum of bubbles and adapt Lions’s concentration-compactness lemma.

In this talk we discuss a viscoelastic equation with a non increasing function. We first give an account of the existing results and then establish a new general decay rate for the solution energy of the problem under a more general condition on the relaxation function. This work answers some questions raised in the literature and generalizes and improves earlier results.

On éudie la localisation et l’existence des valeurs propres (v. p.) du générateur d’un semi-groupe de contraction associé aux problèmes à  bord dissipatifs pour l’équation des ondes et le système de Maxwell. Le spectre du générateur dans le demi-plan gauche est formé par des v. p. isolées de multiplicité finie et les solutions associées ont une énergie globale exponentiellement décroissante. La localisation des v. p. est importante pour les applications et les problèmes inverses de diffusion. On prouve que les v. p. sont localisées dans des voisinages paraboliques de l’axe réel ou de l’axe imaginaire. Pour des obstacles strictement convexes on obtient des résultats plus précis. Finalement pour la balle on établit l’existence d’un nombre infini de v. p. réelles négatives.

Résumé

This is an introductory talk to mathematics of active biosystems. The goal is to illustrate by simple examples how  mathematics changes when transition from traditional physics/materials problems to PDEs in biology. Before jumping into mathematics we present experimental videos of striking biological phenomena that motivate our study. The talk consists of three parts. First we give a brief introduction to homogenization theory which is a powerful mathematical tool for studying multiscale problems. Next we describe a PDE model of collective behavior for swimming bacteria and present mathematical results on the effective viscosity of bacterial suspensions. Finally we present a phase field PDE model of a crawling cell on a substrate and describe its surprising features such as self-sustained motion (traveling wave solutions) and spontaneous breaking of symmetry. In conclusion, we briefly discuss the concept of interdisciplinary mathematics.

Cet exposé présentera des modèles mathématiques de la fermeture de trous dans des tissus épithéliaux. Ces modèles mettent en évidence l’importance de la géométrie des bords (en particulier la courbure locale à  chaque point de la frontière du tissu) et de l’adhésion à  la matrice extra-cellulaire pour la détermination du type de mécanisme de fermeture dominant.

L’équation de Klein-Gordon peut être écrite dans un cadre assez général sous la forme $(partial_t^2-2ikpartial_t+h)u=0$, o๠$h$ et $k$ sont des opérateurs autoadjoints. Lorsque $h$ n’est pas positif l’énergie naturelle conservée $Vert partial_tuVert^2+(hu,u)$ n’est pas positive et en général aucune énergie positive conservée n’est disponible. De tels phénomènes apparaissent lorsque l’équation de Klein-Gordon est couplée à  un champ électrique fort o๠lorsqu’elle provient d’une géométrie lorentzienne sans champ de Killing global de type temps. Dans ce cas on parle souvent de superradiance. Un exemple typique est la métrique de De Sitter Kerr qui décrit des trous noirs en rotation. Nous allons décrire comment on peut obtenir dans un tel cadre des résultats de complétude asymptotique et donner quelques applications à  la métrique de De Sitter Kerr. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Christian Gérard et Vladimir Georgescu.

The purpose of our talk is to introduce a framework that enables one to study general homogenization problems. We study the qualitative properties of generalized Besicovitch spaces, and prove some general compactness results related to these spaces. We then apply them to study some new homogenization problems.