Séminaire Probabilités et Statistique

La Mécanique Statistique s’est révélée être un cadre bien adapté à  l’étudedes propriétés physiques des polymères en interaction avec un milieu extérieur.Les questions principales auxquelles les mathématiciens tentent de répondre concernentles transitions de phase (localisation, effondrement etc.) auxquelles les modèles de polymèredonnent lieu, mais également les propriétés géométriques typiquesd’un polymère dans un milieu donné, et à  une température donnée.Dans cet exposé je développerai plus particulièrement les résultats obtenusconcernant la transition d’effondrement d’un modèle de marche aléatoirepartiellement dirigée en auto-interaction, introduit par Zwanzig et Lauritzen (Jour. Chem. Phys. 1968)pour étudier le comportement d’un homopolymère plongé dans un solvant pauvre. Je présenterai également un résultatrécent d’existence de la transition d’effondrement pour une variante non dirigée de ce modèle.Il s’agit de travaux en collaboration avec Philippe Carmona, Gia Bao Nguyen et Niccolo Torri.

Le modèle des graphes aléatoires hyperboliques était introduit comme un modèle prometteur pour les réseaux complexes. Nous considérons le modèle de Krioukov et al. et nous calculons le trou spectral de la Laplacienne de ce modèle. Plus précisément, nous montrons que $ lambda_2$ d’un tel graphe est $ Omega(n^{-(2alpha-1)}/polylog(n))$, o๠$ n$ est le nombre de noeuds et $ 1/2 < alpha < 1$ est un paramètre du modèle. Nous concluons aussi que la borne supérieure de $ lambda_2$ obtenue par l'inégalité de Cheeger est presque atteinte. Nous caractérisons aussi les ensembles des noeuds pour lesquelles cette borne est atteinte.
(travail en collaboration avec Marcos Kiwi)

Le TASEP est un système de particules sur $ mathbb{Z}$ dans lequel chaque particule essaie indépendamment de sauter d’un pas vers la droite aux instants d’un processus de Poisson, le saut n’ayant lieu que si le site visé est libre. C’est un modèle ultra-simplifié de trafic routier. Le flux de particules est une fonction explicite, strictement concave, de la densité moyenne. Ce caractère explicite, lié à  la connaissance explicite des mesures invariantes du processus, persiste si l’on ajoute du désordre de particules, en faisant varier l’intensité du processus de Poisson d’une particule à  l’autre (véhicules lents/rapides). On observe alors une transition entre un régime laminaire à  basse densité, ou le courant est linéaire, et un régime d’exclusion à  haute densité. Dans le cas du désordre de site (sites rapides/sites lents), les mesures invariantes ne sont plus connues, et la fonction courant n’est plus explicite. Nous démontrons que le courant présente un plateau autour de la densité 1/2 et obtenons la limite explicite de cette fonction et de la taille du plateau dans la limite du désordre dilué. Notre preuve repose sur un argument de renormalisation appliqué à  la percolation de dernier passage, et des idées d’homogénéisation.
(Travail en collaboration avec Thierry Bodineau)

On se donne une famille de mesures réelles indexées sur R. Ces mesures sont les marges de nombreux processus très différents les uns des autres. On pense d’abord au processus indépendant (dont la loi est la mesure produit) qui est markovien, ou au processus quantile (alias comonotone) qui préserve l’ordre des quantiles. Je présenterai un nouveau processus qui combine les deux propriétés, dans un sens précis, et dont je donnerai des exemples variés. Nous verrons une application intéressante à  la théorie du transport et comment l’existence du processus complète les résultats de Kellerer sur les peacocks. Il s’agit un travail en collaboration avec Charles Boubel.

Nous étudions la percolation gelée et les processus de feux de foràƒÂªts. La percolation gelée est un processus de percolation oàƒÂ¹ chaque composante connexe arràƒÂªte de croàƒÂ®tre (« gàƒÂ¨le ») dàƒÂ¨s qu’elle devient infinie. Ce modàƒÂ¨le a été introduit par Aldous en 1999 sur l’arbre binaire, et nous discutons un processus analogue en deux dimensions, pour lequel les composantes connexes gàƒÂ¨lent dàƒÂ¨s qu’elles contiennent au moins N sommets, pour un certain paramàƒÂ¨tre N. En particulier, nous prouvons que la densité de sites gelés tend vers 0 lorsque N tend vers l’infini, et nous établissons une propriété de « déconcentration » pour les tailles des composantes connexes. Nous évoquons également des résultats similaires pour les feux de foràƒÂªts. ApràƒÂ¨s une introduction générale sur la percolation indépendante, nous présentons en détail les principaux outils pour décrire sa transition de phase en deux dimensions. Cette compréhension de la percolation pràƒÂ¨s du point critique joue un ràƒÂ´le fondamental dans nos résultats. Cet exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Rob van den Berg (CWI and VU, Amsterdam) et Demeter Kiss (U. Cambridge).

The Tara Oceans expedition [sunagawa et al, 2005] facilitated the study of plankton communities by providing the scientists with ocean metagenomic data combined with environmental measures. During the expedition, 243 seawater samples were collected from 68 locations representing all main oceanic regions at three depth layers: the surface (SRF), the deep chlorophyll maximum (DCM) layer and the mesopelagic (MES) zone. During the presentation, I will describe a method to integrate information provided by different datasets collected during the expedition. The approach uses kernels which are combined in an unsupervised setting for data mining purposes. Additionnaly, tools to help the interpretation of the results are given and shows that well known facts about parts of the datasets are recovered and that new insights on the data are also obtained.

Dans cet exposé on considère des Equations Différentielles Stochastiques (EDS) unidimensionnelles faisant intervenir le temps local du processus inconnu, ainsi que des coefficients discontinus. Ce type d’EDS est en lien avec les opérateurs sous forme divergence à  coefficients discontinus, ainsi qu’avec les Equations aux Dérivées Partielles (EDP) avec condition de transmission. Ces résultats son assez bien connus dans le cas homogène en temps.
On se penche ici sur le cas o๠tous les coefficients de l’équation dépendent du temps. On montre des résultats d’existence et d’unicité des solutions pour ce type d’EDS (on étend ainsi des résultats pour le cas homogène qui remontent à  J.-F. Le Gall, 1984). Puis on établit le lien, via une formule de Feynman-Kac, entre la solution de l’EDS et la solution classique d’une EDP parabolique avec condition de transmission, et coefficients non-homogènes en temps – en particulier la condition de transmission devient elle-même inhomogène en temps. Nous prouvons nous-mêmes l’existence d’une telle solution classique à  l’EDP. Pour ce faire, on s’appuie sur les travaux de Ladyzhenskaya et al. (1966), qui ne fournissent toutefois pas le résultat directement. On se sert finalement de ces résultats pour étudier le caractère Feller de la solution de l’EDS.
Travail en commun avec Miguel Martinez de l’UPEMLV.

L’exposé présente l’algorithme ABC Shadow un nouveau algorithme de type ABC (Approximate Bayesian Computation). Cet algorithme peut être utilisé pour échantillonner des lois a posteriori des densités de probabilité qui sont continues et différentiables. Cette méthode parvient a surmonter la principale difficulté de toute méthode ABC, afin qu’elle puisse àƒÂªtre utilisée en pratique. Cette difficulté consiste dans le fait que l’on a besoin d’un nombre important d’échantillons dans la région de l’espace des paramètres, induite par les statistiques observées. L’algorithme est réglé en l’appliquant sur la loi a posteriori d’un modèle Gaussien qui est entièrement connue. Une fois ce réglage effectué, la méthode ABC Shadow est utilisée pour l’analyse des différentes structures spatialisées. Ces structures proviennent ou bien elles sont supposées comme des réalisations des processus ponctuels. Les modèles considérés sont : Strauss, Candy et interaction par aires.

TBA