Séminaire Probabilités et Statistique

Realized statistics based on high frequency returns have become very
popular in financial economics.In recent years,
different non-parametric estimators of the variation of a log-price
process have appeared. Among them are the realized
quadratic (co-)variation which is perhaps the most well known example,
providing a consistent estimator of the integrated
(co-)volatility when the logarithmic price process is continuous. In
this paper, we propose to study the large deviation
properties of realized (co-)volatility. Our main motivation is to
improve upon the existing limit theorems such as the weak law
of large numbers or the central limit theorem which have been proved in
different contexts. Our large deviations results can
be used to evaluate and approximate tail probabilities of realized
(co-)volatility. As an application we provide the large deviations
for the standard dependence measures between the two assets returns such
as the realized regression coefficients or the
realized correlation. Our study should contribute to the recent trend of
research on the (co-)variance estimation problems, which
are quite often discussed in high-frequency financial data analysis.

Nous nous intéresserons aux liens qui existent entre deux échelles de modélisation neurobiologique. A un niveau microscopique, l’activité électrique de chaque neurone est représentée par un processus ponctuel. à  une plus grande échelle, un système d’EDP structuré en âge décrit la dynamique moyenne de ces activités. Nous montrerons que le modèle macroscopique (système d’EDP) peut se retrouver à  partir d’un réseau de $ n$ neurones en champ-moyen quand $ n$ tend vers $+infty$ via une « Loi des grands nombres ». De plus, les fluctuations du réseau de $ n$ neurones autour du comportement limite/macroscopique sont caractérisées par un « Théorème central limite ». Cette étude finale permet la dérivation d’un système d’EDP stochastique, plus proche de la dynamique microscopique que le système d’EDP classique.

Nous considérons un modèle d’appariement d’entités générées aléatoirement, pour lequel les paires possibles sont fixées par un graphe simple de compatibilité. Ce modèle, qui a des applications naturelles à  l’économie participative, la gestion des banques de sang et d’organes et aux chaînes de production, généralise celui d’appariement biparti de Kaldentey, Kaplan et Weiss à  un graphe non-nécessairement biparti. La stabilité du système est étudiée suivant les propriétés structurelles du graphes de compatibilité. Nous proposons une classe de graphes pour lesquels la zone de stabilité ne dépend pas de la politique d’appariement (i.e. l’ordre de priorité en cas de choix multiple), et une réciproque partielle. En outre, nous montrons sous certaines conditions l’existence d’une forme produit particulière pour sa représentation Markovienne sous la politique « Premier entré, premier marié. » Des connexions de ces résultats avec la théorie classique d’appariement dans les graphes (et dans les grands graphes aléatoires) seront aussi proposées. (travaux joints avec Jean Mairesse, Ana Busic et Ohad Perry).

La Mécanique Statistique s’est révélée être un cadre bien adapté à  l’étudedes propriétés physiques des polymères en interaction avec un milieu extérieur.Les questions principales auxquelles les mathématiciens tentent de répondre concernentles transitions de phase (localisation, effondrement etc.) auxquelles les modèles de polymèredonnent lieu, mais également les propriétés géométriques typiquesd’un polymère dans un milieu donné, et à  une température donnée.Dans cet exposé je développerai plus particulièrement les résultats obtenusconcernant la transition d’effondrement d’un modèle de marche aléatoirepartiellement dirigée en auto-interaction, introduit par Zwanzig et Lauritzen (Jour. Chem. Phys. 1968)pour étudier le comportement d’un homopolymère plongé dans un solvant pauvre. Je présenterai également un résultatrécent d’existence de la transition d’effondrement pour une variante non dirigée de ce modèle.Il s’agit de travaux en collaboration avec Philippe Carmona, Gia Bao Nguyen et Niccolo Torri.

Le modèle des graphes aléatoires hyperboliques était introduit comme un modèle prometteur pour les réseaux complexes. Nous considérons le modèle de Krioukov et al. et nous calculons le trou spectral de la Laplacienne de ce modèle. Plus précisément, nous montrons que $ lambda_2$ d’un tel graphe est $ Omega(n^{-(2alpha-1)}/polylog(n))$, o๠$ n$ est le nombre de noeuds et $ 1/2 < alpha < 1$ est un paramètre du modèle. Nous concluons aussi que la borne supérieure de $ lambda_2$ obtenue par l'inégalité de Cheeger est presque atteinte. Nous caractérisons aussi les ensembles des noeuds pour lesquelles cette borne est atteinte.
(travail en collaboration avec Marcos Kiwi)

Le TASEP est un système de particules sur $ mathbb{Z}$ dans lequel chaque particule essaie indépendamment de sauter d’un pas vers la droite aux instants d’un processus de Poisson, le saut n’ayant lieu que si le site visé est libre. C’est un modèle ultra-simplifié de trafic routier. Le flux de particules est une fonction explicite, strictement concave, de la densité moyenne. Ce caractère explicite, lié à  la connaissance explicite des mesures invariantes du processus, persiste si l’on ajoute du désordre de particules, en faisant varier l’intensité du processus de Poisson d’une particule à  l’autre (véhicules lents/rapides). On observe alors une transition entre un régime laminaire à  basse densité, ou le courant est linéaire, et un régime d’exclusion à  haute densité. Dans le cas du désordre de site (sites rapides/sites lents), les mesures invariantes ne sont plus connues, et la fonction courant n’est plus explicite. Nous démontrons que le courant présente un plateau autour de la densité 1/2 et obtenons la limite explicite de cette fonction et de la taille du plateau dans la limite du désordre dilué. Notre preuve repose sur un argument de renormalisation appliqué à  la percolation de dernier passage, et des idées d’homogénéisation.
(Travail en collaboration avec Thierry Bodineau)

On se donne une famille de mesures réelles indexées sur R. Ces mesures sont les marges de nombreux processus très différents les uns des autres. On pense d’abord au processus indépendant (dont la loi est la mesure produit) qui est markovien, ou au processus quantile (alias comonotone) qui préserve l’ordre des quantiles. Je présenterai un nouveau processus qui combine les deux propriétés, dans un sens précis, et dont je donnerai des exemples variés. Nous verrons une application intéressante à  la théorie du transport et comment l’existence du processus complète les résultats de Kellerer sur les peacocks. Il s’agit un travail en collaboration avec Charles Boubel.

Nous étudions la percolation gelée et les processus de feux de foràƒÂªts. La percolation gelée est un processus de percolation oàƒÂ¹ chaque composante connexe arràƒÂªte de croàƒÂ®tre (« gàƒÂ¨le ») dàƒÂ¨s qu’elle devient infinie. Ce modàƒÂ¨le a été introduit par Aldous en 1999 sur l’arbre binaire, et nous discutons un processus analogue en deux dimensions, pour lequel les composantes connexes gàƒÂ¨lent dàƒÂ¨s qu’elles contiennent au moins N sommets, pour un certain paramàƒÂ¨tre N. En particulier, nous prouvons que la densité de sites gelés tend vers 0 lorsque N tend vers l’infini, et nous établissons une propriété de « déconcentration » pour les tailles des composantes connexes. Nous évoquons également des résultats similaires pour les feux de foràƒÂªts. ApràƒÂ¨s une introduction générale sur la percolation indépendante, nous présentons en détail les principaux outils pour décrire sa transition de phase en deux dimensions. Cette compréhension de la percolation pràƒÂ¨s du point critique joue un ràƒÂ´le fondamental dans nos résultats. Cet exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Rob van den Berg (CWI and VU, Amsterdam) et Demeter Kiss (U. Cambridge).

The Tara Oceans expedition [sunagawa et al, 2005] facilitated the study of plankton communities by providing the scientists with ocean metagenomic data combined with environmental measures. During the expedition, 243 seawater samples were collected from 68 locations representing all main oceanic regions at three depth layers: the surface (SRF), the deep chlorophyll maximum (DCM) layer and the mesopelagic (MES) zone. During the presentation, I will describe a method to integrate information provided by different datasets collected during the expedition. The approach uses kernels which are combined in an unsupervised setting for data mining purposes. Additionnaly, tools to help the interpretation of the results are given and shows that well known facts about parts of the datasets are recovered and that new insights on the data are also obtained.

Dans cet exposé on considère des Equations Différentielles Stochastiques (EDS) unidimensionnelles faisant intervenir le temps local du processus inconnu, ainsi que des coefficients discontinus. Ce type d’EDS est en lien avec les opérateurs sous forme divergence à  coefficients discontinus, ainsi qu’avec les Equations aux Dérivées Partielles (EDP) avec condition de transmission. Ces résultats son assez bien connus dans le cas homogène en temps.
On se penche ici sur le cas o๠tous les coefficients de l’équation dépendent du temps. On montre des résultats d’existence et d’unicité des solutions pour ce type d’EDS (on étend ainsi des résultats pour le cas homogène qui remontent à  J.-F. Le Gall, 1984). Puis on établit le lien, via une formule de Feynman-Kac, entre la solution de l’EDS et la solution classique d’une EDP parabolique avec condition de transmission, et coefficients non-homogènes en temps – en particulier la condition de transmission devient elle-même inhomogène en temps. Nous prouvons nous-mêmes l’existence d’une telle solution classique à  l’EDP. Pour ce faire, on s’appuie sur les travaux de Ladyzhenskaya et al. (1966), qui ne fournissent toutefois pas le résultat directement. On se sert finalement de ces résultats pour étudier le caractère Feller de la solution de l’EDS.
Travail en commun avec Miguel Martinez de l’UPEMLV.