Séminaire Probabilités et Statistique

On présente la solution fondamentale d’une équation aux dérivées partielles à  coefficient constants par morceaux. De telles équations apparaissent, entre autres, lors de la modélisation de la diffusion de particules dans des milieux hétérogènes. Partant d’une représentation probabiliste de la solution, on explicite un développement asymptotique en temps petits, utilisable dans les applications concrètes.

Les arbres apparaissent naturellement dans de nombreux domaines tels que l’informatique pour le stockage de données ou encore la biologie pour classer des espèces dans des arbres phylogénétiques.
Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux limites de fonctionnelles additives de grands arbres aléatoires. Nous étudierons les cas des arbres binaires sous le modèle de Catalan (arbres aléatoires choisis uniformément parmi les arbres binaires enracinés complets ordonnés avec un nombre de nÅ“ud donné) et les arbres simplement générés. On obtiendra un principe d’invariance pour ces fonctionnelles ainsi que les fluctuations associées.
Dans le cas binaire, la preuve repose sur le lien entre les arbres binaires et l’excursion brownienne normalisée (voir Aldous [1]). Cela nous permettra de retrouver les résultats avancés par Fill et Kapur [2] et Fill et Janson [3].
Références :
[1] : D. Aldous. The continuum random tree. III. (1993)
[2] : J.A. Fill and N.Kapur. Limiting distributions for additive functionals on Catalan trees (2004)
[3] : J.A. Fill and S. Janson. Precise logarithmics for the right tails of some limit random variables for random trees (2009)

Concentration inequalities are very often a crucial step in deriving many results in statistical learning. The purpose of this talk is to present Bernstein and Hoeffding type maximal inequalities for regenerative Markov chains. Furthermore, we generalize these results and show exponential bounds for suprema of empirical processes over a class of functions F which size is controlled by its uniform entropy number. We show also that concentration inequalities are possible to obtain when the chain is sub-geometric. All constants involved in the bounds of the considered inequalities are given in an explicit form which can be advantageous in practical considerations. We show that the inequalities obtained for regenerative Markov chains can be easily generalized to a Harris recurrent case. Finally we provide one example of application of presented inequalities in statistical learning theory and obtain generalization bounds for mimimum volume set estimation problem when the data are Markovian.

The Keller Segel (KS) model for chemotaxis is a two-dimensional system of parabolic or elliptic PDEs. Motivated by the study of the fully parabolic model using probabilistic methods, we give rise to a non linear SDE of McKean-Vlasov type with a highly non standard and singular interaction.
In this talk I will briefly introduce the KS model, point out some of the PDE analysis results on it and then, in detail, analyze our probabilistic interpretation in the case d=1.
This is a joint work with D. Talay.

We consider semi-linear PDEs perturbed by a multiplicative noise
of the form

$
du(t,x)=[Au(t,x)+G(u(t,x))]dt+ku(t,x)dW(t),
$

where $ A$ is the Laplacian, $ G$ is a positive, increasing convex function, $ k
$ is constant and $ {W(t)}$ is a one-dimensional Brownian motion.
Nontrivial positive solutions of these equations can exist globally in time,
or they can exhibit blow up in finite time. In this talk we will focus on
the later regime and obtain bounds for the blow up times, which are given in
terms of integral functionals of $ {W(t)}$.

Dans cet exposé je parlerai du processus de contact sous critique. Ce processus modélise une infection qui s’éteint presque sà»rement si on commence avec un nombre fini de particules infectées et qu’on choisit un paramètre d’infection suffisamment petit. Mais que se passe-t-il si, dans ce même régime, on part cette fois d’un nombre infini de particules infectées? Je présenterai un travail en collaboration avec Leonardo T. Rolla o๠nous donnons une description des configurations asymptotiques. Une configuration sera décrite par la collection des « emplacements macroscopiques » des zones de particules infectées et par la position relative de ces particules dans chaque zone (faisant intervenir la distribution quasi stationnaire du processus de contact modulo translation). Ce travail est une extension d’un résultat de Andjel, Ezanno, Groisman et Rolla qui décrit le processus de contact sous critique vu depuis la particule la plus à  droite en dimension 1.

After presenting the optimal stopping problem and a classical example, we present some recent results in optimal stopping for Lévy processes and multidimensional diffusions. The possibility of extending this results to one-dimensional diffusion with discontinuous coefficients will be discussed.

Realized statistics based on high frequency returns have become very
popular in financial economics.In recent years,
different non-parametric estimators of the variation of a log-price
process have appeared. Among them are the realized
quadratic (co-)variation which is perhaps the most well known example,
providing a consistent estimator of the integrated
(co-)volatility when the logarithmic price process is continuous. In
this paper, we propose to study the large deviation
properties of realized (co-)volatility. Our main motivation is to
improve upon the existing limit theorems such as the weak law
of large numbers or the central limit theorem which have been proved in
different contexts. Our large deviations results can
be used to evaluate and approximate tail probabilities of realized
(co-)volatility. As an application we provide the large deviations
for the standard dependence measures between the two assets returns such
as the realized regression coefficients or the
realized correlation. Our study should contribute to the recent trend of
research on the (co-)variance estimation problems, which
are quite often discussed in high-frequency financial data analysis.

Nous nous intéresserons aux liens qui existent entre deux échelles de modélisation neurobiologique. A un niveau microscopique, l’activité électrique de chaque neurone est représentée par un processus ponctuel. à  une plus grande échelle, un système d’EDP structuré en âge décrit la dynamique moyenne de ces activités. Nous montrerons que le modèle macroscopique (système d’EDP) peut se retrouver à  partir d’un réseau de $ n$ neurones en champ-moyen quand $ n$ tend vers $+infty$ via une « Loi des grands nombres ». De plus, les fluctuations du réseau de $ n$ neurones autour du comportement limite/macroscopique sont caractérisées par un « Théorème central limite ». Cette étude finale permet la dérivation d’un système d’EDP stochastique, plus proche de la dynamique microscopique que le système d’EDP classique.

Nous considérons un modèle d’appariement d’entités générées aléatoirement, pour lequel les paires possibles sont fixées par un graphe simple de compatibilité. Ce modèle, qui a des applications naturelles à  l’économie participative, la gestion des banques de sang et d’organes et aux chaînes de production, généralise celui d’appariement biparti de Kaldentey, Kaplan et Weiss à  un graphe non-nécessairement biparti. La stabilité du système est étudiée suivant les propriétés structurelles du graphes de compatibilité. Nous proposons une classe de graphes pour lesquels la zone de stabilité ne dépend pas de la politique d’appariement (i.e. l’ordre de priorité en cas de choix multiple), et une réciproque partielle. En outre, nous montrons sous certaines conditions l’existence d’une forme produit particulière pour sa représentation Markovienne sous la politique « Premier entré, premier marié. » Des connexions de ces résultats avec la théorie classique d’appariement dans les graphes (et dans les grands graphes aléatoires) seront aussi proposées. (travaux joints avec Jean Mairesse, Ana Busic et Ohad Perry).