Séminaire Géométrie

Dans un article célèbre, Allcock, Carlson et Toledo ont décrit l’espace de modules des hypersurfaces cubiques de dimension trois comme le quotient arithmétique du complémentaire d’un arrangement d’hyperplans dans une boule complexe de dimension 10. Dans cet exposé, je donnerai une interprétation de cet espace de modules comme celui paramétrisant les déformations d’automorphismes d’ordre trois agissant sur une famille classique de variétés hyperkähleriennes polarisées. C’est un travail en collaboration avec Chiara Camere et Alessandra Sarti.

Soit $Gamma$ un réseau hyperbolique complexe uniforme, c’est-à -dire un sous-groupe discret de $SU(n,1)$, $ngeq 2$, agissant de manière cocompacte sur l’espace hyperbolique complexe $SU(n,1)/U(n)$. Si $rho$ est une
représentation, i.e. un morphisme, de $Gamma$ dans un groupe de Lie semisimple de type hermitien, l’invariant de Toledo fournit une mesure de la « taille complexe » de $rho$. Les représentations maximales sont celles qui maximisent cet invariant.
Nous classifions ces représentations en montrant qu’elles sont essentiellement induites par des représentations, elles-mêmes particulières, du groupe ambient $SU(n,1)$ dans $SU(p,q)$ avec $pgeq nq$, ou éventuellement, si $n=2$, de $SU(2,1)$ dans le groupe exceptionnel $E_{6(-14)}$.
La preuve utilise la théorie des fibrés de Higgs associés aux représentations des groupes Kähler ainsi que la dynamique et la géométrie du feuilletage tautologique sur le projectifié du fibré tangent des variétés hyperboliques complexes.
Il s’agit d’une collaboration avec Vincent Koziarz et Pierre-Emmanuel Chaput.

Un espace de matrices de rang constant est un sous espace vectoriel $V$ — disons $(n+1)$-dimensionnel — de l’espace des matrices ayant $a$ lignes et $b$ colonnes, tel que toutes les matrices de $V$ (sauf $0$) aient le même rang $r$. Les questions que l’on se pose sont, par exemple, pour quelles valeurs de $(a,b,n,r)$ un tel V existe-t-il ; ou alors, comment construire $V$ explicitement ; ou aussi, quelles variantes sont possibles (matrices symétriques, antisymétriques etc). On se rend compte rapidement qu’un tel espace $V$ donne lieu à  un fibré vectoriel $E$ sur l’espace projectif $mathbb{P}^n$, dont les matrices de $V$ fournissent une présentation. Ceci conduit à  exclure certaines valeurs de $(a,b,n,r)$ par des considérations sur les classes caractéristiques de $E$ – (travaux de Landsberg et al) et permet de répondre à  un sens des questions précédentes. En revanche, la construction de $V$ à  partir d’un fibré $E$ est plus mystérieuse. Je montrerai quelques méthodes pour y parvenir dans certains situations favorables (travail en commun avec A. Boralevi, E. Mezzetti, P. Lella)

Les réseaux dans les groupes de Lie semisimples de rang supérieur satisfont à  de nombreuses propriétés de rigidité : propriété (T), existence de points fixes pour des actions sur des arbres, des espaces de Hilbert… Dans cet exposé, nous montrerons que tout action par isométries d’un réseau sur un espace Gromov-hyperbolique est élémentaire. Parmi les conséquences, on retrouve le théorème de Farb-Kaimanovich-Masur que tout morphisme d’un réseau à  valeur dans un groupe modulaire est d’image finie. Guirardel et Horbez en déduisent également le théorème de Bridson-Wade que toute morphisme d’un réseau à  valeurs dans Out(Fn) est d’image finie.