Séminaire Géométrie

Un espace de matrices de rang constant est un sous espace vectoriel $V$ — disons $(n+1)$-dimensionnel — de l’espace des matrices ayant $a$ lignes et $b$ colonnes, tel que toutes les matrices de $V$ (sauf $0$) aient le même rang $r$. Les questions que l’on se pose sont, par exemple, pour quelles valeurs de $(a,b,n,r)$ un tel V existe-t-il ; ou alors, comment construire $V$ explicitement ; ou aussi, quelles variantes sont possibles (matrices symétriques, antisymétriques etc). On se rend compte rapidement qu’un tel espace $V$ donne lieu à  un fibré vectoriel $E$ sur l’espace projectif $mathbb{P}^n$, dont les matrices de $V$ fournissent une présentation. Ceci conduit à  exclure certaines valeurs de $(a,b,n,r)$ par des considérations sur les classes caractéristiques de $E$ – (travaux de Landsberg et al) et permet de répondre à  un sens des questions précédentes. En revanche, la construction de $V$ à  partir d’un fibré $E$ est plus mystérieuse. Je montrerai quelques méthodes pour y parvenir dans certains situations favorables (travail en commun avec A. Boralevi, E. Mezzetti, P. Lella)

Les réseaux dans les groupes de Lie semisimples de rang supérieur satisfont à  de nombreuses propriétés de rigidité : propriété (T), existence de points fixes pour des actions sur des arbres, des espaces de Hilbert… Dans cet exposé, nous montrerons que tout action par isométries d’un réseau sur un espace Gromov-hyperbolique est élémentaire. Parmi les conséquences, on retrouve le théorème de Farb-Kaimanovich-Masur que tout morphisme d’un réseau à  valeur dans un groupe modulaire est d’image finie. Guirardel et Horbez en déduisent également le théorème de Bridson-Wade que toute morphisme d’un réseau à  valeurs dans Out(Fn) est d’image finie.