Séminaire Géométrie

Un groupe de Cousin est un groupe de Lie complexe dont les fonctions holomorphes globales sont toutes constantes. Dans l’exposé on présentera des résultats obtenus ensemble avec Alexandra Otiman sur la cohomologie de ces groupes, notamment une caractérisation des groupes de Cousin tels que la cohomologie de Dolbeault de leurs domaines connexes soit de dimension finie. Ceci permet le calcul de la cohomologie de Dolbeault des variétés OT. On présentera également la construction des ces variétés à  partir des corps de nombres.

On présentera tout d’abord (de manière souvent un peu informelle) les objets utilisés : formes automorphes, adèles, champs et cohomologie étale. On donnera ensuite une esquisse de la démonstration de Vincent Lafforgue.

Le groupe de Cremona est le groupe des transformations birationnelles du plan projectif. Il agit sur un espace hyperbolique de dimension infinie qui est une généralisation du modèle de l’hyperboloïde pour H^n. Cette action est centrale pour l’étude du groupe de Cremona. Après l’avoir définie, nous étudierons un pavage de Voronoï associé à  cette action. Nous nous concentrerons ensuite sur des graphes qui sont construits naturellement à  partir de ce pavage. Enfin, nous discuterons du fait que certains de ces graphes sont Gromov-hyperboliques.

Dans un article célèbre, Allcock, Carlson et Toledo ont décrit l’espace de modules des hypersurfaces cubiques de dimension trois comme le quotient arithmétique du complémentaire d’un arrangement d’hyperplans dans une boule complexe de dimension 10. Dans cet exposé, je donnerai une interprétation de cet espace de modules comme celui paramétrisant les déformations d’automorphismes d’ordre trois agissant sur une famille classique de variétés hyperkähleriennes polarisées. C’est un travail en collaboration avec Chiara Camere et Alessandra Sarti.

Soit $Gamma$ un réseau hyperbolique complexe uniforme, c’est-à -dire un sous-groupe discret de $SU(n,1)$, $ngeq 2$, agissant de manière cocompacte sur l’espace hyperbolique complexe $SU(n,1)/U(n)$. Si $rho$ est une
représentation, i.e. un morphisme, de $Gamma$ dans un groupe de Lie semisimple de type hermitien, l’invariant de Toledo fournit une mesure de la « taille complexe » de $rho$. Les représentations maximales sont celles qui maximisent cet invariant.
Nous classifions ces représentations en montrant qu’elles sont essentiellement induites par des représentations, elles-mêmes particulières, du groupe ambient $SU(n,1)$ dans $SU(p,q)$ avec $pgeq nq$, ou éventuellement, si $n=2$, de $SU(2,1)$ dans le groupe exceptionnel $E_{6(-14)}$.
La preuve utilise la théorie des fibrés de Higgs associés aux représentations des groupes Kähler ainsi que la dynamique et la géométrie du feuilletage tautologique sur le projectifié du fibré tangent des variétés hyperboliques complexes.
Il s’agit d’une collaboration avec Vincent Koziarz et Pierre-Emmanuel Chaput.