Séminaire Géométrie

Je présenterai la construction d’un invariant de la structure complexe des variétés de Calabi-Yau. Je montrerai ensuite qu’il fournit dans le cas des hypersurfaces de Calabi-Yau des espaces projectifs la donnée, côté complexe, qui correspond par la symétrie miroir au comptage des courbes de genre 1 sur la variété miroir, côté symplectique. Il s’agit d’un travail en commun avec Dennis Eriksson et Gerard Freixas i Montplet.

Un groupe de Cousin est un groupe de Lie complexe dont les fonctions holomorphes globales sont toutes constantes. Dans l’exposé on présentera des résultats obtenus ensemble avec Alexandra Otiman sur la cohomologie de ces groupes, notamment une caractérisation des groupes de Cousin tels que la cohomologie de Dolbeault de leurs domaines connexes soit de dimension finie. Ceci permet le calcul de la cohomologie de Dolbeault des variétés OT. On présentera également la construction des ces variétés à  partir des corps de nombres.

On présentera tout d’abord (de manière souvent un peu informelle) les objets utilisés : formes automorphes, adèles, champs et cohomologie étale. On donnera ensuite une esquisse de la démonstration de Vincent Lafforgue.

Le groupe de Cremona est le groupe des transformations birationnelles du plan projectif. Il agit sur un espace hyperbolique de dimension infinie qui est une généralisation du modèle de l’hyperboloïde pour H^n. Cette action est centrale pour l’étude du groupe de Cremona. Après l’avoir définie, nous étudierons un pavage de Voronoï associé à  cette action. Nous nous concentrerons ensuite sur des graphes qui sont construits naturellement à  partir de ce pavage. Enfin, nous discuterons du fait que certains de ces graphes sont Gromov-hyperboliques.