Probabilities and Statistic seminar

Planning, titres et résumés ici.

We define a wide class of Markovian load balancing queueing networks, including classic networks studied in the lively literature on the subject. Each network has identical single-server infinite-buffer queues and implements a load balancing policy to allocate each task at its arrival and possibly reallocate it at service completions. The purpose of the policy is to optimize server utilization under constraints such as limited information, real-time decision taking, and network topology. The queue length process is not necessarily exchangeable. The invariant law is in general not known even up to normalizing constant. We provide perfect simulation methods in view of Monte Carlo estimation of quantities of interest in equilibrium, for instance for performance evaluation. In this infinite multi-dimensional state space, we use an unusual preorder defining an order up to permutation of the coordinates, define a coupling in which networks in this class are dominated by the network with uniform routing, and implement dominated coupling from the past methods.

[The talk will be in French, but slides will be in English.]

(Exceptionnellement, le séminaire aura lieu à Metz et sera diffusé en visio en salle de conférence à Nancy.)

We study the problem of simultaneously testing that each of k independent samples come from a normal population. The means and variances of those populations may differ. The proposed procedures are based on the BHEP test and they allow k to increase, which can be even larger than the sample sizes.

Most of the numerical approximation methods for PDEs in the scientific literature suffer from the so-called curse of dimensionality (CoD) in the sense that the number of computational operations and/or the number of parameters employed in the corresponding approximation scheme grows exponentially in the PDE dimension and/or the reciprocal of the desired approximation precision. In recent years, certain deep learning-based approximation methods for PDEs have been proposed and various numerical simulations for such methods suggest that they might have the capacity to indeed overcome the CoD in the sense that the number of real parameters used to describe the approximating neural networks grows at most polynomially in both the PDE dimension and the reciprocal of the prescribed approximation accuracy. In this talk, I will show some theoretical results which state that this is indeed the case for suitable Kolmogorov PDEs.

L’objectif de cet exposé est de montrer comment se comportent certains types de modèles de graphes en particulier des modèles de graphes à motifs exclus. Pour cela nous introduirons la décomposition modulaire, un outil relativement connu en algorithmique, mais dont l’étude d’un point de vue probabiliste a commencé très récemment. Nous verrons alors comment pour une large classe de modèles définies par diverses contraintes sur la décomposition modulaire, on arrive à connaître la densité de chaque graphe comme sous-graphe induit. Ce résultat implique une convergence au sens des “graphons” qui peut être vue comme une sorte de convergence des matrices d’adjacences. On a la convergence d’un graphe de taille n vers un graphe “continu” qui est appelé cographon Brownien et peut être construit à partir d’une excursion Brownienne.

Le but de cet exposé est de présenter quelques résultats récents pour le processus d’exclusion facilité en une dimension.
Ce modèle de gaz sur réseau stochastique est soumis à de fortes contraintes cinétiques qui créent une transition de phase continue vers un état absorbant à une valeur critique de la densité des particules. Si la dynamique microscopique est symétrique, son comportement macroscopique (avec conditions aux limites périodiques et dans l’échelle de temps diffusive), est régi par une EDP non linéaire appartenant aux problèmes à frontières libres (ou problèmes de Stefan). L’un des ingrédients majeurs est de montrer que le système atteint la composante “ergodique” en un temps sous-diffusif. Dans le cas asymétrique, la densité empirique converge vers l’unique solution entropique d’un problème hyperbolique de Stefan. Tous ces résultats reposent, dans une certaine mesure, sur un argument de mapping avec un processus de type zero-range, qui ne peut pas être utilisé en dimension plus grande que 1.
D’après des travaux en collaboration avec O. Blondel, H. Da Cunha, C. Erignoux, M. Sasada et L. Zhao.

Pour un graphe connexe donné muni de poids distincts sur les arêtes, il existe un unique arbre couvrant dont la somme des poids des arêtes est minimale: on l’appelle l’arbre couvrant minimal. On s’intéresse aux propriétés asymptotiques, pour n grand, de l’arbre couvrant minimal défini à partir du graphe complet à n sommets muni de poids i.i.d. sur les arêtes.
Un résultat de convergence locale nous décrit la structure de cet objet autour d’un point typique à l’aide d’un arbre discret infini. Dans un travail avec Omer Angel, nous montrons que cet arbre infini admet une limite d’échelle: lorsqu’on fait tendre les longueurs des arêtes de cet arbre vers 0, on voit apparaître un arbre continu, dont on peut donner une construction explicite.
Je présenterai les objets mentionnés et expliquerai les grandes lignes de la preuve de la convergence du discret vers le continu.

This paper delves into a challenging  problem of nonparametric estimation for the interaction function within diffusion-type particle system models. We introduce two estimation methods based upon an empirical risk minimization. Our study encompasses an analysis of the stochastic and approximation errors associated with both procedures, along with an examination of certain minimax lower bounds. In particular, for the first method we show that there is a natural metric under which the corresponding estimation error of the interaction function converges to zero with parametric rate which is minimax optimal. This result is rather surprising given the complexity of the underlying estimation problem and rather large class of interaction functions for which the above parametric rate holds.

L’apprentissage par transfert (transfert learning) vise à réutiliser les connaissances d’un ensemble de données source vers un ensemble de données cible similaire. Alors que plusieurs études abordent le problème de quoi ou comment transférer, la question très importante de quand le faire reste principalement sans réponse, surtout d’un point de vue théorique pour les problèmes de régression.
Dans l’exposé je présenterai le cadre général de l’apprentissage par transfert. Puis, je détaillerai un nouveau cadre théorique pour le problème du transfert de paramètres pour le modèle linéaire… Il est démontré que la qualité du transfert pour un nouveau vecteur d’entrée dépend de sa représentation dans une base propre impliquant les paramètres du problème. De plus, un test statistique est construit pour prédire si un modèle affiné (fine tuned) a un risque quadratique de prédiction inférieur au modèle cible de base pour un échantillon non observé. L’efficacité du test est illustrée sur des données synthétiques ainsi que des données réelles de consommation d’électricité.

David Obst, Badih Ghattas, Sandra Claudel, Jairo Cugliari, Yannig Goude, Georges Oppenheim,
Improved linear regression prediction by transfer learning, CSDA (2022)

Dans cet exposé, on s’intéresse à un certain type de champ aléatoire: le champ de Brown-Resnick. La loi de ce dernier est décrite par deux paramètres: l’un d’échelle, l’autre de Hurst. On suppose que le champ est observé dans une fenêtre fixée en un nombre fini de sites. Les sites sont donnés par la réalisation d’un processus ponctuel de Poisson. Estimer les paramètres par maximum de vraisemblance est en pratique impossible car les lois fini-dimensionnelles ne peuvent être calculées de façon efficace. Pour y remédier, nous considérons les estimateurs par maximum de vraisemblance composite en retenant comme pairs les pairs de points qui sont voisins dans la triangulation de Delaunay sous-jacent et comme triplets les triplets qui sont sommets d’un triangle de Delaunay. Les résultats sont des théorèmes limites sur ces estimateurs, lorsque l’intensité du processus de Poison tend vers l’infini. Travail joint avec Christian Y. Robert.

La transition de phase associée à un modèle de percolation peut être quantifiée à l’aide d’un certain nombre de constantes, appelées exposants critiques, qui décrivent la vitesse à laquelle certaines quantités décroissent au voisinage du point critique. J’expliquerai comment calculer certains de ces exposants critiques quand le modèle de percolation est le champ libre gaussien sur le système de câbles en dimension trois ou quatre.

Cylindrical distributions are joint distributions of a circular variable and a linear variable, where the circular variable affects the linear variable. In this paper, we consider a class of cylindrical distributions based on the normal distribution, which have normal and angular conditional and marginal distributions. The distribution based on the normal distribution has the advantages of easy random number generation and simple Fisher information matrix. We also consider a regression model using the cylindrical distribution. Examples of estimation will be given for real data, and a new methodology of data analysis using the cylinder model will be given. Furthermore, we also discuss some potential extensions of the cylindrical distribution.