PhD students working group

Journée conviviale d’exposés mathématiques pour les doctorant.e.s de l’IECL.

Les exposés auront lieu en salle de conférence et les pauses en salle 313.

Programme de la journée :

• • 9h00 – 9h30 : Petit déjeuner

• • 9h30 – 10h10 : Exposé de Sophie Baland
    
    Un modèle de branchement pour la dynamique des longueurs de télomères dans les cellules sanguines.

    Dans les domaines de la biologie et de la médecine, la modélisation mathématique du développement cellulaire reste primordiale à étudier.

    Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux télomères : ces petites structures situées aux extrémités des chromosomes eucaryotes et qui possèdent un rôle de capuchon protecteur permettant de préserver l’intégrité du génome.

    Dans une première partie, j’aborderai la structure et les fonctions des télomères, leur rôle dans les processus de vieillissement ainsi que dans les maladies résultant d’une modification de leur longueur, élément déterminant dans leur bon fonctionnement. De plus, je présenterai brièvement deux mécanismes biologiques : le processus de réplication de l’ADN et l’hématopoïèse, qui est le processus de fabrication des cellules sanguines, afin d’introduire les notions nécessaires à la compréhension d’un modèle décrivant la dynamique des longueurs de télomères.

    Dans une seconde partie, j’introduirai un modèle de branchement, qui va permettre de comprendre le mécanisme de l’hématopoïèse et qui reproduit les comportements des cellules lors de divisions cellulaires, en tenant compte de la longueur de leurs télomères. Il s’agit d’un modèle stochastique d’évolution d’une population de cellules et de leurs chromosomes, faisant intervenir plusieurs facteurs tels que l’attrition télomérique, l’action de la télomérase, les phénomènes d’autorenouvellement, de différenciation, et de mort cellulaire. Je présenterai ensuite deux résultats : le premier, appelé loi des grands nombres, lié au comportement du modèle en grande population, et le second, portant sur l’étude des fluctuations du modèle.

• • 10h15 – 10h55 : Exposé de Léo Delage
    
    Intro to graphs of groups.

    Groups acting on trees is a foundational topic in geometric group theory and topology, with an incredibly wide range of applications (graphs of spaces, JSJ theory, Outer spaces…) and generalizations (word-hyperbolic groups, CAT(0) cube complexes, real trees…). In this talk, I will sketch the classical correspondence between group actions on (simplicial) trees and the associated orbifold-like structures called graphs of groups that play the role of a quotient space. Some of my favorite examples will be provided.

• • 10h55 – 11h10 : Pause café

• • 11h10 – 11h50 : Exposé de Mabrouk Ben Jaba
    
    Titre TBA

    ABSTRACT TBA

• • 11h50 – 14h00 : Buffet déjeuner

• • 14h00 – 15h00 : Exposé de Aurélien Minguella
    
    The cutoff phenomenon for the Brownian motion on the torus.

    The cutoff phenomenon occurs in the study of the convergence of ergodic Markov chains towards their invariant measure. For a large class of these objects, we can expect that, when a size parameter (dimension, number of objects) becomes asymptotically large, convergence occurs abruptly. The aim of this presentation is to give an example of a natural Markov chain for which this phenomenon is relatively easy to prove.
    After reviewing discrete-time Markov chains, we will present their continuous-time counterparts. We will then define the Brownian motion on the torus and see how it fits into this framework. The end of the presentation will be devoted to concluding the proof of the cutoff.

• • 15h05 – 15h45 : Exposé de Marie Dautheville
    
    Titre TBA

    ABSTRACT TBA

• • 15h45 – 16h00 : Pause café – goûter

Le programme détaillé de l’événement sera communiqué ultérieurement.

Nous présenterons le formalisme hamiltonien de la mécanique classique, puis le formalisme, développé par Souriau, de la mécanique symplectique. La fin de l’exposé visera à introduire la mécanique quantique, via un exemple, et en insistant sur l’aspect historique.

La recherche en climatologie et en océanographie a conduit à résoudre des EDP de plus en plus complexes sur des domaines de plus en plus variés.
Un domaine de calcul naturel est celui de la sphère.
Nous proposons dans cet exposé une méthode basée sur les différences finies sur un maillage de type Cube-Sphère.
Nous verrons comment construire le maillage Cube-Sphère et comment sont calculées les dérivées.
L’ensemble sera utilisé pour le calcul du gradient sphérique.
Pour illustrer cela dans un cadre plus concret et si le temps nous le permet,
nous illustrerons ce calcul avec deux tests : le BUMP mobile et le vortex stationnaire.

La géométrie asymptotique, ou “coarse geometry”, se propose d’étudier les propriétés à grande échelle des espaces métriques.
Nous présenterons dans cet exposé comment l’introduction de techniques asymptotiques en K-théorie amène à de nouvelles preuves
de la conjecture de Baum-Connes coarse pour de nouvelles classes de groupes, et de nouvelles preuves de la conjecture de Novikov.

La recherche en climatologie et en océanographie à conduit à résoudre des EDP de plus en plus complexes
sur des domaines de plus en plus variés. Un domaine d’approximation qui semble naturel est celui de la sphère.
Nous proposons dans cet exposé une méthode de calcul basée sur les différences finies sur un maillage de type
Cube-Sphère. Après un rapide aperçu de quelques maillages possibles, nous verrons comment construire le maillage
Cube-Sphère. Puis nous calculerons le gradient sur ce maillage. De manière à illustrer ces calculs, nous résoudrons
l’équation de transport à l’aide d’une méthode de Runge-Kutta en temps filtrée en espace. Si le temps le permet,
nous présenterons les résultats numériques associésà deux test : Le corps solide en rotation autour de la sphère
et le vortex stationnaire.

Le but de cet exposé est de déterminer « explicitement » le dual unitaire d’un groupe de Lie compact.
Pour cela, on commencera par quelques rappels assez généraux concernant les groupes de Lie, les algèbre de Lie,
la mesure de Haar … On verra que si le groupe de Lie G est compact, alors son algèbre de Lie est réductive,
et que ceci est un des points de départ pour la compréhension du dual unitaire (on expliquera au préalable
pourquoi on est peut être amené à s’intéresser aux représentations de l’algèbre de Lie de G). On appliquera
cela dans un cas explicite, à savoir pour G = SU(2). Si le temps le permet, on fera une ouverture sur les
représentations des groupes de Lie non compacts, en parlant par exemple de la notion de (J,K)-modules.

La théorie des représentations a été introduite vers la fin de XIXe siècle par le mathématicien allemand
Frobenius, motivé par une lettre de Dedekind. Cette théorie a connu un développement considérable depuis,
et vouloir essayer de résumer cette dernière relèverait de la folie. Le but des présentations que je vais
faire est de donner quelques idées sur ce qui peut se faire, et mettre en avant certains des nombreux
problèmes qu’il reste actuellement au sein de cette magnifique théorie. Pour cette première présentation,
je commencerai par rappeler les fondamentaux de la théorie des représentations linéaires des groupes finis.
Ensuite, on étudiera ensemble un exemple très intéressant, à savoir le groupe symétrique. Le but étant de
déterminer explicitement le dual unitaire dans ce cas. Si le temps le permet, je conclurai par une présentation
très rapide de la dualité de Schur-Weyl, ce qui nous permettra de voir un exemple où les représentations du
groupe symétrique apparaissent explicitement.

L’approximation des équations aux dérivées partielles est un domaine mathématique lié à de nombreuses autres
sciences. Pour cette raison il est important de tenir compte des contraintes que ces autres domaines
apportent. Après une première partie dans laquelle j’introduirais l’approximation des EDP, je parlerais des
différences finies. Les méthodes de différences finies sont historiquement les premières méthodes a avoir été
développées. Après en avoir énoncé quelques résultats théoriques et présenté quelques schémas classiques, dans
une troisième partie, nous constaterons des limites de ces méthodes et nous proposerons quelques améliorations.

J’introduirai dans cette exposé la méthode des chemins de Littelmann qui permet notamment de
décomposer en irréductible la tensorisation de deux représentations pour une algèbre de Lie simple.
On verra des exemples simples. Si le temps le permet je donnerai des résultats sur les représentations
usuelle de su(n) sur les formes totalement antisymétrique et totalement symétrique.