Séminaire EDP et Applications | Nancy

Nous présentons deux approches différentes pour construire des méthodes numériques pour les problèmes hautement oscillants, dont la précision est uniforme par rapport à  la fréquence d’oscillation. On parle dans ce cas de schémas UA (uniformly accurate). Une première méthode UA consiste à  séparer les variables rapide et lente, en rajoutant de façon adéquate une variable supplémentaire au modèle. Une deuxième méthode UA est basés sur une décomposition micro-macro qui reformule le problème en une équation moyennée à  différents ordres en la fréquence, couplée à  une équation micro satisfaite par le reste. Les propriétés de régularité uniforme par rapport à  la fréquence dont jouissent ces deux reformulations, permettent l’utilisation des méthodes numériques usuelles avec un ordre de précision indépendant de la fréquence des oscillations. Des applications en théorie cinétique (Vlasov avec Champ magnétique fort) et en mécanique quantique (Klein-Gordon et limite non-relativiste) seront présentées.

En 2005-2007 Burdzy, Caffarelli et Lin, Van den Berg ont conjecturé, dans des contextes différents, que l’asymptotique des partitions optimales d’un domaine du plan en cellules minimisant la somme (le maximum) des premières valeurs propres du Laplacien-Dirichlet est donnée par un réseau d’hexagones réguliers. Nous allons discuter l’historique de cette conjecture en présentant les arguments de Toth et Hales pour le problème du nid d’abeilles en nous allons démontrer la conjecture (du maximum) pour les valeurs propres du Laplacien-Robin. Les résultats ont été obtenus en collaboration avec I. Fragala, B. Velichkov et G. Verzini.

On présentera une séries de travaux en collaboration avec Henri Berestycki sur des systèmes de prédateurs qui interagissent entre eux et avec une seule proie. Ce système est lié au célèbre modèle de dynamique de population de Lotka et Volterra, ainsi que au modèle de Gross et Pitaevskii proposé pour l’étude des condensats de Bose-Einstein, et à  des modèles de réactions chimiques distribuées spatialement. On analysera le cas de prédateurs qui, comme les loups, peuvent se partager en meutes hostiles. Les questions qui on se posera sont de comprendre sous quelles conditions les prédateurs se partagent en meutes, s’il y a un avantage à  avoir des meutes hostiles et finalement de comparer les différents configurations qui émergent dans ce contexte. Plus précisément, on se concentra sur l’analyse des solutions stationnaires, notamment leur stabilité, et sur l’asymptotique du système quand le paramètre de compétition diverge.

Résumé

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Nous montrons avec I.Shafrir qu’une solution localement minimisante non constante de $R^3$ à  valeurs dans $R^2$ de l’équation de Ginzburg-Landau a une énergie qui croît au moins comme celle du filament de vorticité. Nous conjecturons d’ailleurs que le filament de vorticité est l’unique solution localement minimisante.

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