Séminaire EDP, Analyse et Applications | Metz

The aim of this talk is to study a stochastic Schrödinger equation with a quadratic nonlinearity and a space-time fractional perturbation, in space dimension $dleq 3$. When the Hurst index is large enough, we will prove local well-posedness of the problem using classical arguments. I will briefly talk about the case where we deal with a small Hurst index since even the interpretation of the equation needs some care. A renormalization procedure must come into the picture, leading to a Wick-type interpretation of the model. Our fixed-point argument then involves some specific regularization properties of the Schrödinger group, which allows us to cope with the strong irregularity of the solution. This is a joint work with Aurélien Deya and Laurent Thomann.

We consider a nonlinear reaction–diffusion equation in a domain consisting of two bulk regions connected via small channels periodically distributed within a thin layer. The height and the thickness of the channels are of order $epsilon$, and the equation inside the layer depends on the parameter $epsilon$. We consider the critical scaling of the diffusion coefficients in the channels and nonlinear Neumann-boundary condition on the channels’ lateral boundaries. We derive effective models in the limit $epsilon to 0 $, when the channel-domain is replaced by an interface $Sigma$ between the two bulk-domains. Due to the critical size of the diffusion coefficients, we obtain jumps for the solution and its normal fluxes across $Sigma$, involving the solutions of local cell problems on the reference channel in every point of the interface $Sigma$. This is a joint work with Markus Gahn (University of Heidelberg)

Cet expose sera une introduction aux quelques résultats basiques pour les équations aux dérivées partielles sur domaine polyédrique. Par exemple, il est bien connu due aux travaux de Costabel, Dauge, Kondratiev, Mazya, Nicaise et d’autres que les solutions des équations elliptiques sur domaines non lisses souffrent d’une « perte de régularité. » Une question naturelle est qu’est-ce qu’on peut faire pour soulager ce problème, qui cause des ennuis pour les méthodes numériques. Les résultats que je vais exposer aident à  résoudre certains aspects de ce problème. L’exposé sera assez informel et basique.

Dans ce travail, on s’intéresse à  des configurations optimales de ressources (typiquement des denrées alimentaires) nécessaires à  la survie d’une espèce, dans un espace fermé. A cette fin, nous utilisons un modèle dit logistique pour décrire l’évolution de la densité d’individus constituant cette population. Cette équation fait intervenir une fonction représentant la répartition hétérogène (en espace) des ressources. La question principale traitée dans cet exposé peut se formuler ainsi : comment répartir de façon optimale des ressources dans un habitat ? Cette question peut se reformuler comme un problème de contrôle optimal ou d’optimisation de forme, dans lequel on cherche à  optimiser un critère mettant en jeu la valeur propre principale d’un opérateur par rapport au domaine occupé par les ressources ou encore une fonction de la densité de population dépendant implicitement d’un terme de ressources. Nous présenterons dans cet exposé de nouveaux résultats complétant une analyse ancienne de ces problèmes, ainsi que de nombreuses propriétés qualitatives.

We are used to self-adjoint Schrödinger operators with real potentials. In my talk I will try to convince you that the theory of 1 dimensional Schrödinger operators with complex potentials is very similar to the real case. For instance, the theory of their boundary value problem, formulas for their resolvents, etc. are essentially the same. The proofs are, however, often more difficult and one has to change the basic philosophy. For example, the concept of the self-adjointness should be replaced by the self-transposedness (called also the J-self-adjointness).

L’imagerie par résonance magnétique (IRM) est une technique d’imagerie médicale non-invasive et non-ionisante. L’examen IRM comporte plusieurs séquences d’acquisition, avec différents paramètres permettant de varier le contraste entre les tissus, et les données images sont acquises séquentiellement dans l’espace de Fourier. Lors du choix des paramètres, un compromis doit être choisi entre la résolution spatiale/temporelle des images, le rapport signal sur bruit, le type de contraste désiré et le temps d’acquisition. En imagerie thoracique et abdominale, les mouvements du patient (notamment cardio-respiratoires) imposent des contraintes additionnelles car ils peuvent dégrader la qualité des images (flous, artéfacts de type « fantômes ») et donc l’analyse, la quantification, et le diagnostic. Dans cet exposé nous présenterons quelques techniques de reconstruction des images permettant de lever certaines des limites rencontrées actuellement en imagerie clinique : la reconstruction conjointe de l’image et du mouvement du patient, la reconstruction super-résolution, ainsi que les algorithmes d’optimisation et techniques de régularisation associées.

Résumé

Nous étudions un système modélisant la dynamique d’une structure élastique immergée dans un fluide visqueux incompressible. Le mouvement du fluide est modélisé par les équations de Navier-Stokes et les déplacements élastiques suivent l’équation d’élasticité linéaire. Nous obtenons l’existence de solutions régulières locales en temps pour ce système.

Dans cet exposé, nous présenterons les schémas de bi-projection récemment développés pour la discrétisation en temps des équations de Navier-Stokes incompressibles isothermes avec une rhéologie visco-plastique (Bingham, Drucker-Prager). La difficulté principale, tant du point de vue de l’analyse mathématique que de l’approximation numérique, est due à  la non-différentiabilité de la partie plastique du tenseur des contraintes dans les régions de l’espace o๠le tenseur des déformations est nul. Une formulation basée sur une réécriture de la définition de la partie plastique du tenseur en terme d’une projection est utilisée. Un nouveau schéma de semi-discrétisation en temps, basé sur un schéma de projection incrémental classique pour les équations de Navier-Stokes dans le cas des fluides newtoniens, est proposé. Le tenseur plastique est traité en implicite dans l’étape de prédiction du schéma de projection et un algorithme de point fixe est utilisé pour son évaluation. Un terme de pseudo-relaxation temporel est ajouté dans la projection de Bingham afin d’assurer une convergence rapide (géométrique) du point fixe. Des analyses de stabilité et d’erreurs du schéma numérique ont été obtenues dans un premier travail dans le cas d’écoulements homogènes puis étendues au cas d’écoulements à  densité, viscosité et seuil de plasticité variables. Des résultats numériques d’écoulements dans une cavité entraînée 2D ainsi que d’instabilités de Rayleigh-Taylor seront présentés afin de montrer l’efficacité de la méthode de bi-projection. Enfin, des applications à  des écoulements géophysiques seront discutées.

Le résumé se trouve ici