Séminaire EDP, Analyse et Applications | Metz

Des divergences apparaissent lorsque l’on cherche à effectuer des calculs en théorie des champs quantiques (comme par exemple pour la section efficace de diffusion). Il est donc essentiel de recourir à une procédure, nommée renormalisation, pour retirer ces divergences de nos modèles et obtenir des prédictions vérifiables expérimentalement.

En mathématiques, on peut décrire les modèles de théorie des champs par un Hamiltonien agissant sur un espace de Fock et dont le noyau n’est pas de carré intégrable. La procédure généralement suivie est d’abord d’introduire des coupures ultraviolettes permettant de régulariser le noyau. Ensuite, il faut démontrer que cet opérateur régularisé auquel on a soustrait un terme de compensation, converge vers un opérateur limite. Les termes de compensation généralement utilisés en mathématiques proviennent du premier ou des deux premiers ordres dans la théorie de la perturbation de grandeurs physiques telles que l’énergie de l’état fondamental. Dans cet exposé nous présenterons, sur un modèle jouet, une méthode permettant d’utiliser un nombre fini mais quelconque de termes de compensation, et donc d’ordre dans la théorie de la perturbation. Il s’agit d’un travail en cours en collaboration avec Jacob Møller.

Motivated by Tadmor’s work dedicated to multiscale image representation using hierarchical (BV,L^2) decompositions, we propose transposing their approach to the case of registration, task which consists in determining a smooth deformation aligning the salient constituents visible in an image into their counterpart in another. The underlying goal is to obtain a hierarchical decomposition of the deformation in the form of a composition of intermediate deformations: the coarser one, computed from versions of the two images capturing the essential features, encodes the main structural/geometrical deformation, while iterating the procedure and refining the versions of the two images yields more accurate deformations that map faithfully small-scale features. The proposed model falls within the framework of variational methods and hyperelasticity by viewing the shapes to be matched as Ogden materials. The material behaviour is described by means of a specifically tailored strain energy density function, complemented by L^∞ penalisations ensuring that the computed deformation is a bi-Lipschitz homeomorphism. Theoretical results emphasising the mathematical soundness of the model are provided, among which the existence of minimisers, a Γ-convergence result and an analysis of a suitable numerical algorithm, along with numerical simulations demonstrating the ability of the model to produce accurate hierarchical representations of deformations.

In this talk we present the problem of designing infinite-dimensional observers for infinite-dimensional systems. We consider the situation where only boundary measurement is available. Infinite-dimensional Luenberger-like observers are elaborated to infinite-dimensional dynamical systems in the abstract framework of semigroup systems. Exponential convergence of the proposed observers is guaranteed in the abstract framework by using the Lyapunov techniques. As examples explicit observers are worked out for PDE systems such as Euler-Bernoulli elastic beam systems and water wave systems. Thanks to observability property exponential or strong convergence of the designed observers is established with the convergence rate estimated in function of parameters of the observed systems, which is a desirable property for practical applications.

1. Lien entre l’hydrodynamique quantique et les équations de Schrödinger non linéaires
2. Vitesse de propagation maximale pour les équations de Schrödinger

The standard approach for photoacoustic imaging with variable speed of sound is time reversal, which consists of solving a well-posed final-boundary value problem for the wave equation backwards in time. We present a gradient based approach which consists of the iterative Landweber regularization algorithm, where convergence is guaranteed by standard regularization theory, notably also in cases of trapping sound speed or for short measurement times.
We formulate and solve the direct and inverse problem on the whole Euclidean space, which is common in standard photoacoustic imaging, but not for time reversal algorithms, where the problems are considered on a domain enclosed by the measurement devices. We formulate both the direct and adjoint photoacoustic operator as the solution of an interior and an exterior differential equation which are coupled by transmission conditions. The former is solved numerically using a Galerkin scheme in space and finite difference discretization in time, while the latter consists of solving a boundary integral equation. We therefore use a boundary element method/finite element method approach for numerical solution of the forward operators.
We analyze this method, prove convergence, and provide numerical tests. Moreover, we compare the approach to time reversal.

We consider the Dirichlet Laplacian in a two-dimensional strip composed of segments translated along a straight line with respect to a rotation angle with velocity diverging at infinity. We show that this model exhibits a “raise of dimension” at infinity leading to an essential spectrum determined by an asymptotic three-dimensional tube of annular cross section. If the cross section of the asymptotic tube is a disc, we also prove the existence of discrete eigenvalues below the essential spectrum. Joint work with David Krejcirik (Prague).

Le but de ce travail est de montrer la contrôlabilité à zéro d’un système modélisant l’interaction entre un fluide incompressible et une structure solide en utilisant un contrôle distribué localement situé dans le domaine du fluide. Le fluide est modélisé par le système de Navier-Stokes avec les conditions de Navier sur le bord, tandis que le corps rigide est gouverné par les lois de Newton. Le résultat principal montre qu’on peut amener les vitesses du fluide et de la structure à zéro et qu’on peut contrôler exactement la position du solide qui est supposé être assez régulier et de forme géométrique quelconque. Le point clé consiste à l’élaboration d’une nouvelle inégalité de Carleman pour le système linéarisé associé à notre problème couplant les équations de Stokes et des équations différentielles ordinaires avec les conditions de Navier sur le bord.

Nous appliquons une méthode de commutateurs à l’opérateur de Schrödinger discret sur . Nous proposons un nouvel opérateur conjugué qui nous permet de prouver la présence de spectre purement absolument continue à certains niveaux d’énergie. Nous imposons aux potentiels une décroissance de type longue portée plus générale que dans le traitement classique. Typiquement, on suppose une décroissance sur où κ>1 et τ_j est une translation dans la direction j. Le cas classique correspond à κ=1.

Travail réalisé en collaboration avec Marc-Adrien Mandich

On s’intéresse aux équations paraboliques linéaires, donc aux équations de la forme

(avec une condition initiale).

Nous nous intéressons principalement à l’obtention d’approximations de sa solution fondamentale K_t(x, y). Les approximations de la solution fondamentale ont une longue histoire en mathématiques et dans d’autres domaines, sous le nom d’approximation WKB (en théorie quantique) ou approximations du noyau de la chaleur.

L’asymptotique du noyau de la chaleur en termes de la géométrie a conduit à une démonstration célèbre du théorème de l’indice local et, plus récemment, dans les travaux de Pierre-Henry Labordère, à des applications souvent utilisées en finance. Si les coefficients sont suffisamment bornés (y compris leurs dérivées), j’expliquerai une méthode différente pour obtenir des développements en série perturbative qui conduit à des calculs très explicites des coefficients du développement asymptotique.

Cette méthode combine la formule de Duhamel/séries perturbatives de Dyson habituelles avec des calculs explicites inspirés des calculs des groupes de Lie nilpotents. J’expliquerai comment ces calculs peuvent ensuite être utilisés pour obtenir des approximations de la solution u de l’équation parabolique et je montrerai quelques tests numériques. J’espère que cette méthode pourra être étendue à de nombreux autres types d’équations (quelques résultats récents sur Navier-Stokes sur la sphère nous donnent plus de raisons d’espérer).

Ces techniques peuvent être combinées avec d’autres techniques (dans les EDP, dans l’analyse numérique ou dans d’autres domaines) et, en principe, pourraient fonctionner pour d’autres équations d’évolution. Dans le premier exposé, Nabil Kazi-Tani expliquera également très brièvement comment des équations paraboliques de ce type découlent de processus stochastiques.

On s’intéresse aux équations paraboliques linéaires, donc aux équations de la forme

(avec une condition initiale).

Nous nous intéressons principalement à l’obtention d’approximations de sa solution fondamentale K_t(x, y). Les approximations de la solution fondamentale ont une longue histoire en mathématiques et dans d’autres domaines, sous le nom d’approximation WKB (en théorie quantique) ou approximations du noyau de la chaleur.

L’asymptotique du noyau de la chaleur en termes de la géométrie a conduit à une démonstration célèbre du théorème de l’indice local et, plus récemment, dans les travaux de Pierre-Henry Labordère, à des applications souvent utilisées en finance. Si les coefficients sont suffisamment bornés (y compris leurs dérivées), j’expliquerai une méthode différente pour obtenir des développements en série perturbative qui conduit à des calculs très explicites des coefficients du développement asymptotique.

Cette méthode combine la formule de Duhamel/séries perturbatives de Dyson habituelles avec des calculs explicites inspirés des calculs des groupes de Lie nilpotents. J’expliquerai comment ces calculs peuvent ensuite être utilisés pour obtenir des approximations de la solution u de l’équation parabolique et je montrerai quelques tests numériques. J’espère que cette méthode pourra être étendue à de nombreux autres types d’équations (quelques résultats récents sur Navier-Stokes sur la sphère nous donnent plus de raisons d’espérer).

Ces techniques peuvent être combinées avec d’autres techniques (dans les EDP, dans l’analyse numérique ou dans d’autres domaines) et, en principe, pourraient fonctionner pour d’autres équations d’évolution. Dans le premier exposé, Nabil Kazi-Tani expliquera également très brièvement comment des équations paraboliques de ce type découlent de processus stochastiques.