Séminaire de Géométrie complexe

Entre variétés à canonique trivial de la même dimension il y a très peu de morphismes dominantes, car ils ne peuvent pas ramifier. Par contre, il y a beaucoup d’applications rationnelles dominantes. Parmi elles, celles qui sont Galois sont les plus géométrique, car elles permettent de voir le codomaine comme un quotient du domaine par un groupe fini (à birationalitées près). Nous allons examiner quelles sont les restriction que la géométrie d’une variété projective lisse avec canonique trivial impose sur ses recouvrement rationnels Galoisiens. On applique ces restrictions aux variétés Hyper-kähler pour comprendre lesquelles peuvent être obtenues comme quotient birationnel d’un groupe fini agissant sur une autre variété à canonique trivial, ce qui donne des restrictions à des questions de Alexeev et Laza.

Mok a déterminé les lieux de base stables et augmentés associés au fibré cotangent d’un quotient compact d’un domaine symétrique borné irréductible. Dans cet exposé, on montre que son résultat se généralise aux quotients non compacts de volume fini. Cela nécessite de considérer des métriques singulières, pour l’étude desquelles on utilise les travaux de Kollár en théorie de Hodge variationnelle. On obtient comme application l’isotrivialité des familles séparables de courbes paramétrées par l’espace des modules des variétés abéliennes sur tout corps, à l’exception d’un nombre fini de caractéristiques positives.

Vers une connectification des immeubles supérieurs

Soit $G$ un groupe réductif déployé sur un corps réellement valué, par exemple $G=SL_n(F)$, où $F=k((t))$ pour $n$ un entier naturel et $k$ un corps. Afin d’étudier un tel groupe, Bruhat et Tits lui ont associé un objet de nature géométrico-combinatoire $I(G)$, appelé immeuble de Bruhat-Tits, sur lequel $G$ agit. On peut alors étudier $G$ via son action sur $I(G)$ et transformer une question de nature algébrique en une question plus géométrique. Par exemple si $G=SL_2(k((t)))$, où k est un corps, son immeuble est un arbre homogène de valence $|k|+1$.

Soit maintenant $F$ un corps muni d’une valuation quelconque, c’est à dire non forcément réelle. On peut par exemple prendre $F=k((t_1))((t₂))…((t_m))$, où m est un entier naturel, qui est naturellement muni d’une valuation à valeurs dans $\mathbb{Z}^m$. Afin d’étudier des groupes réductifs déployés sur de tels corps, Bennett a introduit dans les années 90 une notion d’immeubles supérieurs qui généralise la notion d’immeubles de Bruhat-Tits. Avec Izquierdo et Loisel, nous avons associé à un tel groupe un immeuble supérieur, généralisant ainsi la construction de Bruhat et Tits. Lorsque la valuation est à valeurs réelles, l’immeuble de Bruhat-Tits est connexe et contractile, ce qui permet d’appliquer des techniques de topologie algébrique pour étudier le groupe. En revanche, lorsque la valuation n’est pas réelle (par exemple si $m\geq 2$), l’immeuble n’est pas connexe. Afin de généraliser certains résultats connus pour des valuations réelles, il semble donc utile de « connectifier » l’immeuble c’est à dire de rajouter des points pour le rendre connexe. Je parlerai d’avancées dans cette direction, obtenues avec Bravo, Izquierdo et Loisel.

À côté des variétés toriques, les variétés de drapeaux font partie des rares objets en géométrie algébrique où l’on peut effectuer des calculs précis et tester des conjectures. En caractéristique positive, il existe des versions « tordues » de ces variétés : ce sont des espaces homogènes projectifs et rationnels dont le stabilisateur est un sous-groupe non réduit. Leur géométrie diffère de celle des variétés de drapeaux classiques; par exemple, elles ne sont presque jamais de Fano. À travers des exemples, nous verrons comment elles se décomposent en cellules de Białynicki-Birula et quel est leur groupe de Picard. On décrira ensuite les contractions de courbes de Schubert sur une telle variété $X$, pour arriver à une description du groupe d’automorphismes de $X$ en tant que schéma en groupes.

Titre : Constantes de Kazhdan pour certains groupes agissant sur des immeubles.

Résumé : La propriété (T) de Kazhdan est une propriété relative à la théorie des représentations unitaires. Grossièrement, on dit qu’un groupe a la propriété (T) de Kazhdan si, à chaque fois qu’une représentation admet « presque » des vecteurs invariants, alors il existe des vecteurs invariants. Il est possible de donner une version quantitative de cette propriété, au moyen d’un seuil de déplacement minimal pour les vecteurs presque invariants. Cette quantité est habituellement appelée la constante de Kazhdan.

It is well-known that not every variety in positive characteristic can be lifted to characteristic 0. However, it is conjectured that lifts exist for varieties on which the Frobenius map splits globally—the so-called globally F-split varieties. Recently, Bernasconi, Brivio, Kawakami and Witaszek established the following strong version in two dimension two: globally F-split normal surfaces indeed lift, together with their minimal resolution morphism. From the point of view of the MMP, it is natural to extend this result  to non-normal surfaces that are globally F-split.

In this talk, I will report on a joint project with F. Bernasconi, where we extend this strong lifting statement to non-normal globally F-split CY surfaces. Our argument involves a precise understanding of CY surface pairs with non-empty boundary, and some equivariant MMP.

It is well understood that positivity or negativity properties of canonical line bundle encode a significant amount of geometric data about the underlying projective variety. It is therefore unsruprising to expect that the same should be true for the relative canonical divisor of families of projective varieties. For families of varieties whose canonical divisor is ample (canonically polarized) or numerically trivial (Calabi-Yau), important positivity properties of the pushforward of the relative (pluri)canonical was discovered by Fujita, Kawamata, Kollár and Viehweg. Many fundamental results then followed as a consequence – from moduli theory of such varieties to birational geometry of base spaces of their degeneration. For families of Fano varieties however much less is known. In this talk I will discuss how one can complement some of these classical results in the Fano case. This is based on ongoing joint work with Sándor Kovács.