Groupe de travail Probabilités et Statistique

Le modèle statistique qui relie des expériences physiques à un simulateur contient souvent une fonction de discrépance. La fonction de discrépance permet de modéliser l’écart systématique entre le simulateur et le phénomène réel. Étudier la fonction de discrépance aide à comprendre à quel point le simulateur est fiable. En particulier, déterminer que certaines variables d’entrées sont actives ou inertes dans la fonction de discrépance comporte un intérêt majeur puisque cela indique quelles variables sont correctement modélisées ou non par le simulateur. Ainsi, cela permettrait d’avoir des informations afin d’améliorer le simulateur et aiderait à décider si l’extrapolation dans certaines directions est risquée ou non. La fonction de discrépance est modélisée comme un processus gaussien paramétré comme dans l’article de Linkletter et al. (2006). Cette paramétrisation a pour intérêt d’avoir une distinction simple entre une variable active et une variable inerte. La procédure de sélection de variables repose sur une méthode de sélection de modèles où les modèles en compétition diffèrent sur les distributions a priori choisies pour les paramètres liés aux variables d’entrées. Nous nous appuyons sur le facteur de Bayes calculé efficacement par une procédure de « Bridge Sampling » pour effectuer la sélection de modèle. Des exemples artificiels sont utilisés pour faire la preuve de l’efficacité de la méthode et celle-ci sera appliquée à un simulateur permettant de prévoir la production d’énergie photovoltaïque. Travail en collaboration avec Anabel Forte et Rui Paulo.

En théorie des probabilités, divers processus ponctuels — dont, par exemple, l’ensemble des valeurs propres de l’« ensemble gaussien unitaire » (GUE) — sont dits « déterminantaux », c’est à  dire qu’ils vérifient la propriété suivante : pour x1, …, xn des points, la probabilité que le processus charge simultanément tous ces points est de la forme « det ⸨K(xi, xj)⸩i,j » — o๠le noyau K a parfois une forme particulièrement alambiquée, même pour des processus assez simples… Si vous avez déjà  rencontré cette définition au détour d’une conférence, elle vous aura sans doute semblé fort mystérieuse : pourquoi avoir introduit cette notion de processus déterminantal ; d’o๠vient que certains processus naturels se mettent sous cette forme ; en quoi cette définition est-elle susceptible de donner des propriétés intéressantes ; … ?

J’apporterai quelques éléments de réponse à  ces questions en m’appuyant sur l’article fondateur du concept de processus déterminantal [Benard & Macchi 1973], article qui traitait de… physique quantique ! En effet, il s’avère que les processus déterminantaux sont essentiellement ceux qui décrivent les positions d’un type de particules quantiques appelées fermions, dont l’état vit dans la partie antisymétrique d’une puissance tensorielle d’espace hilbertien (!).

Bien entendu, toutes ces notions seront expliquées au cours de l’exposé, dont la présentation sera orientée selon un angle aussi mathématique que possible. à€ noter que du point de vue technique, il y aura finalement assez peu de probabilités dans ce que je vais raconter (car ici on se contentera de justifier l’intérêt d’étudier les processus déterminantaux : or les probabilités interviennent surtout ensuite, lors de l’étude à  proprement parler) ; par contre, préparez-vous à  subir une bonne dose d’analyse hilbertienne complexe…!

Cette seconde partie se basera sur le preprint « Convergence to quasi-stationarity through Poincaré inequalities and Bakry-Emery criteria ». Il y sera démontré que l’on peut obtenir de la quasi-ergodicité (i.e. convergence de lois marginales de processus conditionnée à  la non-absorption) à  vitesse exponentielle au moyen d’un processus auxiliaire, appelé Q-processus, satisfaisant une inégalité de Poincaré ou une condition de Bakry-Emery. Lorsque le processus absorbé est une diffusion de Kolmogorov, le Q-processus l’est aussi, ce qui permet dans ce cas précis d’énoncer des critères intéressants sur le potentiel pour l’estimation du taux de convergence.

Cette première partie s’intéressera à  l’utilisation d’inégalités fonctionnelles visant à  obtenir une vitesse de convergence d’un processus de Markov vers une mesure invariante. Plus précisément, nous parlerons de l’inégalité de Poincaré et démontrerons, entre autre, qu’elle implique une convergence exponentielle en divergence du $chi_2$ et en variation totale. Puis nous évoquerons la condition courbure-dimension de Bakry-Emery et montrerons qu’elle implique une inégalité de Poincaré. Si le temps le permet, nous parlerons aussi de l’inégalité de Sobolev logarithmique.

In this series of two lectures we overview some recent progress in the study of the liming shape of large random (non uniform) permutations.
We start by properly introducing the notion of permuton convergence and by exploring its connection with the convergence of proportion of pattern densities, this being a striking feature of the permuton topology.
In the second part, we focus on two examples of permuton convergence, presenting the « Brownian separable permuton » (BSP) and the « Baxter permuton » (BS). We explore the universality of these limiting objects — proved for the BSP and conjectured for the BS — showing that they are the limit of different models of random permutations. Finally, we present their relations with many well (and less-well) known probabilistic objects, like the Continuum Random Tree (CRT) and the coalescent flows of some perturbed versions of the Tanaka SDE.
We will not assume any previous knowledge on random permutations or patterns.

In this series of two lectures we overview some recent progress in the study of the liming shape of large random (non uniform) permutations.
We start by properly introducing the notion of permuton convergence and by exploring its connection with the convergence of proportion of pattern densities, this being a striking feature of the permuton topology.
In the second part, we focus on two examples of permuton convergence, presenting the « Brownian separable permuton » (BSP) and the « Baxter permuton » (BS). We explore the universality of these limiting objects — proved for the BSP and conjectured for the BS — showing that they are the limit of different models of random permutations. Finally, we present their relations with many well (and less-well) known probabilistic objects, like the Continuum Random Tree (CRT) and the coalescent flows of some perturbed versions of the Tanaka SDE.
We will not assume any previous knowledge on random permutations or patterns.

We introduce Evolving Systems of Stochastic Differential Equations.

This model generalises the well-known stochastic differential equations

with markovian switching, enabling the countably-many local

systems to have solutions in regime-dependent dimension. We provide

two constructions, the first one based upon general results on measure-valued

processes, and the second one partially inspired by recent developments

of the theory of concatenation of right processes. We prove the Feller

property under very mild assumptions and discuss ongoing research

L’ensemble des nombres rationnels pouvant s’écrire avec un dénominateur ≤ N, pour une grande valeur de N, est un ensemble discret de R dont la densité globale est de l’ordre de 3/Ï€2 à— N2 (ou 1/2 à— N2 si on compte avec multiplicité). Si on regarde R depuis un point tiré au sort uniformément (modulo 1) et qu’on “zoome” pour voir les détails d’échelle 1/N2, la loi de l’ensemble de points aléatoire ainsi obtenu converge-t-elle vers une limite lorsque N tend vers l’infini ? — cette limite représentant alors, moralement, le comportement local des nombres rationnels de dénominateur borné.

Je me suis penché récemment sur cette question, qui apparemment n’avait jamais été regardée jusque-là , et j’ ai montré qu’effectivement il y avait bien un processus-limite. Ce processus-limite n’est pas réellement aléatoire : il s’apparente plutôt à  un système dynamique (observé sous sa mesure d’équilibre), système dynamique que je préciserai et dont j’établirai l’ergodicité. Pour démontrer tout cela, il faudra utiliser un outil de théorie de nombres très intéressant : l’arbre de Stern-Brocot.

L’exposé montrera également une simulation dynamique de ce fameux processus