Groupe de travail Probabilités et Statistique

Le sujet de cet exposé est d’étudier l’équation de McKean-Vlasov au travers de trois limites. La première est la limite champ moyen qui stipule que le modèle de McKean-Vlasov est une bonne approximation d’un système de particules en interaction de type champ moyen quand le nombre de particules tend vers l’infini. La deuxième consiste à  regarder le comportement de la loi du processus lorsque le temps tend vers l’infini. En particulier, on cherche à  obtenir une convergence vers la (une des) probabilité(s) invariante(s). Enfin, la troisième limite concerne le temps de sortie lorsque le coefficient de diffusion est asymptotiquement petit. On rappellera les résultats classiques (ou pas) lorsque le potentiel de confinement et le potentiel d’interaction sont tous les deux convexes. Puis, on présentera le cas o๠le potentiel de confinement n’est pas convexe.

Je reviendrai sur la question générale de l’approche trajectorielle (pathwise) des systèmes différentiels stochastiques (équation standard, EDP), à  travers l’évocation de quelques unes des constructions qui lui sont liées : intégrale de Young, théorie des rough paths, regularity structures. Aucun prérequis ne sera nécessaire.

Cet expose donne une definition des processus ponctuels et presente quelques resultats. Parmi eux la formule de Campbell-Mecke, le theoreme de Slivniak-Mecke. Si le temps le permet les distributions de Palm reduites, ainsi que le theoreme de Georgii-Nguyen-Zessin vont etre presentes. Tous ces resultats sont a la base des nombreuses applications en statistique spatialisee.

Résumé

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