Groupe de Travail EDP et Applications | Nancy

Dans cette deuxième partie, on appliquera la méthode d’éclatement à deux problèmes qui mènent à des
résultats atypiques. Le premier exemple correspond à un problème de diffusion de la chaleur dans
un milieux à deux composantes complémentaires périodiques, à l’interface imparfaite (la température
présente un saut sur cette interface). La particularité de ce problème vient du fait qu’après
homogénéisation, la température limite est donnée comme combinaison de deux températures
distinctes, chacune étant définie sur tout le domaine initial. Les deux températures vérifient un système
couplé, connu dans la littérature comme « système de Barenblatt ». Le deuxième exemple correspond à
un problème de diffusion de la chaleur à double conductivité et sa particularité vient du fait qu’après
homogénéisation, la température limite est donnée comme la somme de deux termes, le premier étant
la solution d’un problème homogénéisé classique et le deuxième étant la moyenne sur la cellule de
périodicité de la solution d’un problème local.

Dans cette première partie, on présente la définition et quelques propriétés relatives à la méthode
d’éclatement, méthode spécifique pour l’homogénéisation de problèmes périodiques, c’est-à-dire des
problèmes pour lesquels la géométrie et/ou des caractéristiques physiques sont des fonctions
périodiques de certaines variables d’espace, la périodicité étant caractérisée par un petit paramètre
strictement positif. La présence du petit paramètre rend impossible la résolution numérique de ces
problèmes. Le processus d’homogénéisation consiste à faire tendre le petit paramètre vers zéro dans le
problème initial, ce qui conduit à l’obtention d’un problème homogénéisé. Ce problème, qui est une
bonne approximation du problème initial, peut être résolu numériquement. Il fournit ainsi une solution
approchée de la solution initiale. On va illustrer cette méthode en l’appliquant à un problème très
simple, celui de la diffusion de la chaleur dans un milieu périodique.

Le but de l’exposé est de comprendre la preuve du théorème de De Philippis et Rindler (2016) qui redémontre et généralise dans un cadre beaucoup plus étendu le fameux théorème dit « Rang-1 » d’Alberti (1993). Pour rappel, celui-ci stipule que toute mesure (à valeurs Matrices) qui est Curl-free doit avoir une partie singulière de rang-1, répondant en particulier à une question de De Giorgi et Ambrosio à propos des fonctions BV. De Philippis et Rindler ont récemment généralisé ce résultat en découvrant une nouvelle preuve assez astucieuse basée sur la théorie de Fourier, ayant d’autres applications intéressantes. Nous nous efforcerons de faire des rappels introductifs de manière à comprendre au mieux la preuve sans trop de pré-requis, ainsi que ses principales applications.

Les notes de l’exposé d’Antoine Lemenant sont disponibles sur sa page web, en suivant ce lien.

Le but de l’exposé est de comprendre la preuve du théorème de De Philippis et Rindler (2016) qui redémontre et généralise dans un cadre beaucoup plus étendu le fameux théorème dit « Rang-1 » d’Alberti (1993). Pour rappel, celui-ci stipule que toute mesure (à valeurs Matrices) qui est Curl-free doit avoir une partie singulière de rang-1, répondant en particulier à une question de De Giorgi et Ambrosio à propos des fonctions BV. De Philippis et Rindler ont récemment généralisé ce résultat en découvrant une nouvelle preuve assez astucieuse basée sur la théorie de Fourier, ayant d’autres applications intéressantes. Nous nous efforcerons de faire des rappels introductifs de manière à comprendre au mieux la preuve sans trop de pré-requis, ainsi que ses principales applications.

Les notes de l’exposé d’Antoine Lemenant sont disponibles sur sa page web, en suivant ce lien.

Les estimations de type Strichartz sont un outil fondamental dans l’étude des EDP dispersives, en particulier pour leur application dans l’étude de modèles non-linéaires. Après avoir rappelé brièvement comment obtenir ces estimations pour l’équation de Schrödinger sur l’espace Euclidien et leur utilité dans la résolution du problème de Cauchy pour une équation semi-linéaire, nous verrons comment traiter le cas d’un domaine compact, d’abord général puis les améliorations possibles dans le cas d’un tore. Si le temps le permet, nous montrerons également comment les estimations de Strichartz semi-classiques peuvent être utiles dans l’analyse de problèmes dispersifs quasi-linéaires.

Les estimations de type Strichartz sont un outil fondamental dans l’étude des EDP dispersives, en particulier pour leur application dans l’étude de modèles non-linéaires. Après avoir rappelé brièvement comment obtenir ces estimations pour l’équation de Schrödinger sur l’espace Euclidien et leur utilité dans la résolution du problème de Cauchy pour une équation semi-linéaire, nous verrons comment traiter le cas d’un domaine compact, d’abord général puis les améliorations possibles dans le cas d’un tore. Si le temps le permet, nous montrerons également comment les estimations de Strichartz semi-classiques peuvent être utiles dans l’analyse de problèmes dispersifs quasi-linéaires.

On s’intéresse à un problème de contrôle approché de l’équation de la chaleur par des « formes » : des contrôles internes, qui en espace sont des fonctions caractéristiques d’ensembles de mesures uniformément bornées.

En partant de l’exemple de la méthode HUM, on montre comment des outils d’analyse et d’optimisation convexes peuvent être utilisés pour étudier les propriétés de contrôlabilité d’un tel système, comportant des contraintes sur le contrôle. Pour faire cela, on voit la recherche de contrôles comme la recherche de contrôles optimaux pour un certain coût bien choisi. En posant ensuite ce problème de contrôle optimal comme un problème d’optimisation convexe sous contraintes, on peut appliquer des résultats généraux d’optimisation convexe pour conclure.

L’outil central de cette approche est la notion de dualité de Fenchel-Rockafellar, qui associe à un problème d’optimisation (dit primal) un problème dit dual. Ces deux problèmes peuvent être vus comme les deux facettes de la formulation Hamiltonienne du problème, de manière analogue aux problèmes de mécanique en physique, où l’on peut opter pour une formulation en coordonnées ou une formulation avec les moments. L’avantage du problème dual est que même si le problème primal comporte des contraintes, le problème dual s’écrit en revanche sans contraintes (mais avec des termes supplémentaires).

Dans la méthode HUM, la solution du problème dual permet de construire le contrôle optimal. Cela se généralise en fait à tout problème de contrôle optimal sous de bonnes hypothèses, et permet d’obtenir le résultat pour le contrôle de l’équation de la chaleur par des « formes ».

On s’intéresse à un problème de contrôle approché de l’équation de la chaleur par des « formes » : des contrôles internes, qui en espace sont des fonctions caractéristiques d’ensembles de mesures uniformément bornées.

En partant de l’exemple de la méthode HUM, on montre comment des outils d’analyse et d’optimisation convexes peuvent être utilisés pour étudier les propriétés de contrôlabilité d’un tel système, comportant des contraintes sur le contrôle. Pour faire cela, on voit la recherche de contrôles comme la recherche de contrôles optimaux pour un certain coût bien choisi. En posant ensuite ce problème de contrôle optimal comme un problème d’optimisation convexe sous contraintes, on peut appliquer des résultats généraux d’optimisation convexe pour conclure.

L’outil central de cette approche est la notion de dualité de Fenchel-Rockafellar, qui associe à un problème d’optimisation (dit primal) un problème dit dual. Ces deux problèmes peuvent être vus comme les deux facettes de la formulation Hamiltonienne du problème, de manière analogue aux problèmes de mécanique en physique, où l’on peut opter pour une formulation en coordonnées ou une formulation avec les moments. L’avantage du problème dual est que même si le problème primal comporte des contraintes, le problème dual s’écrit en revanche sans contraintes (mais avec des termes supplémentaires).

Dans la méthode HUM, la solution du problème dual permet de construire le contrôle optimal. Cela se généralise en fait à tout problème de contrôle optimal sous de bonnes hypothèses, et permet d’obtenir le résultat pour le contrôle de l’équation de la chaleur par des « formes ».

Résumé

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