Groupe de Travail EDP et Applications | Nancy

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Blaise Colle - Introduction à la platitude différentielle pour le contrôle des EDPs

Catégorie d'évènement : Équations aux dérivées partielles Date/heure : 16 janvier 2024 09:15-09:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Blaise Colle Résumé :

La platitude différentielle est une propriété intrinsèque de certain systèmes dynamiques (EDO,EDP). Un
système est dit différentiellement plat si l’on peut paramétrer ses trajectoires par une fonction et ses dérivées,
appelée sortie plate. Cette propriété peut être exploitée pour prouver la contrôlabilité de certains systèmes.
Je commencerai par introduire la méthode en dimension finie puis je montrerai comment on peut l’exploiter
pour démontrer la contrôlabilité à 0 de l’équation de la chaleur en une dimension d’espace. Dans la seconde
moitié de cet exposé, je présenterai certain travaux issus de ma thèse exploitant cette propriété. Il pourra
s’agir de résultats de contrôlabilité sur des systèmes d’EDP-EDO à frontière libre où l’on souhaite garantir
certaines contraintes physiques de signe ou des résultats de contrôlabilité pour des systèmes d’équations de
la chaleur en cascade.


Blaise Colle - Introduction à la platitude différentielle pour le contrôle des EDPs

Catégorie d'évènement : Équations aux dérivées partielles Date/heure : 9 janvier 2024 09:15-09:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Blaise Colle Résumé :

La platitude différentielle est une propriété intrinsèque de certain systèmes dynamiques (EDO,EDP). Un
système est dit différentiellement plat si l’on peut paramétrer ses trajectoires par une fonction et ses dérivées,
appelée sortie plate. Cette propriété peut être exploitée pour prouver la contrôlabilité de certains systèmes.
Je commencerai par introduire la méthode en dimension finie puis je montrerai comment on peut l’exploiter
pour démontrer la contrôlabilité à 0 de l’équation de la chaleur en une dimension d’espace. Dans la seconde
moitié de cet exposé, je présenterai certain travaux issus de ma thèse exploitant cette propriété. Il pourra
s’agir de résultats de contrôlabilité sur des systèmes d’EDP-EDO à frontière libre où l’on souhaite garantir
certaines contraintes physiques de signe ou des résultats de contrôlabilité pour des systèmes d’équations de
la chaleur en cascade.


Maxime Lesur (Institut Jean Lamour) - Des ondes dans les plasmas à l'équation non-linéaire de Schrödinger

Catégorie d'évènement : Équations aux dérivées partielles Date/heure : 12 décembre 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Maxime Lesur Résumé :

L’équation non linéaire de Schrödinger (NLSE) est une équation différentielle partielle, en théorie classique des champs, qui trouve des applications importantes, comme la propagation de la lumière dans une fibre ou plus généralement d’ondes dans un guide, mais aussi le piégeage de condensat de Bose-Einstein. Cette équation permet également de décrire des phénomènes ondulatoires complexes dans les plasmas, sous certaines hypothèses. Plus précisément, elle permet de décrire l’évolution lente de l’enveloppe d’un paquet d’ondes dans un milieu dispersif (où les ondes se propagent à des vitesses différentes selon leurs longueurs d’ondes). Une des solutions de cette équation prend la forme de solitons ou de « rogue waves », qui peuvent être observées et jouent des rôles majeurs dans les expériences plasmas. Cette équation, NLSE, peut être vue comme une version simplifiée, en une dimension de l’espace (+1 dimension de temps) de l’équation de Ginzburg–Landau.
Cet exposé se focalise sur les aspects de la dynamique des ondes plasmas qui peuvent être efficacement capturés par ce formalisme mathématique. Je m’efforcerai de mettre en avant les questions ouvertes que le physicien des plasmas aimerait voir abordées dans un cadre mathématique, notamment sur des systèmes plus complets d’équations aux dérivées partielles dont NLSE n’est qu’une limite obtenues après des hypothèses simplificatrices qui peuvent être discutables.


Antoine Henrot - Sur trois conjectures de Pólya

Catégorie d'évènement : Équations aux dérivées partielles Date/heure : 21 novembre 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Antoine Henrot Résumé :

Dans ces deux exposés, je parlerai de trois conjectures de Pólya qui sont toujours ouvertes.
Les deux premières sont très connues et concernent les valeurs propres du Laplacien, la 3ème est beaucoup
moins connue et est dans le domaine de la géométrie convexe.
Je présenterai des avancées récentes sur ces trois conjectures faisant appel à des techniques très différentes.

Cet exposé aura lieu exceptionnellement en salle Döblin, en raison de la journée de la FCH.


Antoine Henrot - Sur trois conjectures de Pólya

Catégorie d'évènement : Équations aux dérivées partielles Date/heure : 7 novembre 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Antoine Henrot Résumé :

Dans ces deux exposés, je parlerai de trois conjectures de Pólya qui sont toujours ouvertes.
Les deux premières sont très connues et concernent les valeurs propres du Laplacien, la 3ème est beaucoup
moins connue et est dans le domaine de la géométrie convexe.
Je présenterai des avancées récentes sur ces trois conjectures faisant appel à des techniques très différentes


On the asymptotic stability of solitons for 1D models

Catégorie d'évènement : Groupe de Travail Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 26 septembre 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Yvan Martel (Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines) Résumé :

Alexis Vasseur - Stabilité L2 pour les systèmes hyperboliques de lois de conservation

Catégorie d'évènement : Équations aux dérivées partielles Date/heure : 20 juin 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Alexis Vasseur Résumé :

Le principe fort/faible de Dafermos et DiPerna montre que les solutions fortes (Lipschitziennes) de lois de conservations sont stables, et donc uniques, parmi les solutions faibles entropiques. Dans cette série d’exposés, nous présenterons la théorie de “contraction avec poids et  décalages” qui étend le principe fort/faible aux solutions discontinues avec chocs.


Alexis Vasseur - Stabilité L2 pour les systèmes hyperboliques de lois de conservation

Catégorie d'évènement : Équations aux dérivées partielles Date/heure : 13 juin 2023 09:15-10:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Alexis Vasseur Résumé :

Le principe fort/faible de Dafermos et DiPerna montre que les solutions fortes (Lipschitziennes) de lois de conservations sont stables, et donc uniques, parmi les solutions faibles entropiques. Dans cette série d’exposés, nous présenterons la théorie de “contraction avec poids et  décalages” qui étend le principe fort/faible aux solutions discontinues avec chocs.


Ludovick Gagnon - La méthode du Backstepping de Fredholm pour les EDPs

Catégorie d'évènement : Groupe de Travail Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 11 avril 2023 09:15-10:15 Lieu : Oratrice ou orateur : Ludovick Gagnon Résumé :

Introduite par Balogh et Krstic dans le début des années 2000 pour les EDP, la méthode du Backstepping consiste à construire une loi de rétroaction stabilisant exponentiellement rapidement l’EDP considérée en cherchant l’existence d’une transformation liant l’EDP à stabiliser à une EDP cible exponentiellement stable. Si cette transformation est inversible, alors la stabilité de l’EDP à stabiliser est assurée. Inspirée de la dimension finie, cette transformation a d’abord été recherchée sous la forme d’une transformation de Volterra. L’inversibilité étant garantie, les propriétés d’existence et de régularité reposent sur une EDP non standard sur le noyau de la transformation. Cette approche s’est avérée très efficace, donnant lieu à une très vaste littérature, bien qu’il n’existe pas à ce jour de théorie permettant d’expliquer l’existence d’une telle transformation.

Plus récemment, Coron et Lü ont proposé la recherche d’une transformation de Fredholm pour la méthode du Backstepping. Bien que plus technique, cette alternative s’est rapidement distinguée par son approche systématique. Dans ce groupe de travail, nous présenterons des travaux récents dans lesquels nous avons identifiés pour la première fois des conditions suffisantes (spectrales et de contrôlabilité) menant à l’existence d’une transformation de Fredholm pour le Backstepping dans un cadre abstrait très général. En plus de ces critères, nous présenterons également des estimations explicites sur la norme de la transformation, ainsi que de son inverse, par rapport au paramètre de décroissance exponentielle, menant en particulier à la stabilisation en temps fini.

Il s’agit de travaux en collaboration avec Amaury Hayat, Swann Marx, Shengquan Xiang et Christophe Zhang.


Ludovick Gagnon - La méthode du Backstepping de Fredholm pour les EDPs

Catégorie d'évènement : Groupe de Travail Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy) Date/heure : 4 avril 2023 09:15-10:15 Lieu : Oratrice ou orateur : Ludovick Gagnon Résumé :

Introduite par Balogh et Krstic dans le début des années 2000 pour les EDP, la méthode du Backstepping consiste à construire une loi de rétroaction stabilisant exponentiellement rapidement l’EDP considérée en cherchant l’existence d’une transformation liant l’EDP à stabiliser à une EDP cible exponentiellement stable. Si cette transformation est inversible, alors la stabilité de l’EDP à stabiliser est assurée. Inspirée de la dimension finie, cette transformation a d’abord été recherchée sous la forme d’une transformation de Volterra. L’inversibilité étant garantie, les propriétés d’existence et de régularité reposent sur une EDP non standard sur le noyau de la transformation. Cette approche s’est avérée très efficace, donnant lieu à une très vaste littérature, bien qu’il n’existe pas à ce jour de théorie permettant d’expliquer l’existence d’une telle transformation.

Plus récemment, Coron et Lü ont proposé la recherche d’une transformation de Fredholm pour la méthode du Backstepping. Bien que plus technique, cette alternative s’est rapidement distinguée par son approche systématique. Dans ce groupe de travail, nous présenterons des travaux récents dans lesquels nous avons identifiés pour la première fois des conditions suffisantes (spectrales et de contrôlabilité) menant à l’existence d’une transformation de Fredholm pour le Backstepping dans un cadre abstrait très général. En plus de ces critères, nous présenterons également des estimations explicites sur la norme de la transformation, ainsi que de son inverse, par rapport au paramètre de décroissance exponentielle, menant en particulier à la stabilisation en temps fini.

Il s’agit de travaux en collaboration avec Amaury Hayat, Swann Marx, Shengquan Xiang et Christophe Zhang.


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