PhD students working group - Institut Élie Cartan de Lorraine

Le mélange « à l’américaine » d’un jeu de cartes possède des propriétés mathématiques fortes qui peuvent être utilisées pour des tours de magie. De manière surprenante, les permutations de cartes obtenues à l’aide d’un tel mélange sont étroitement liées à un objet central en dynamique holomorphe : l’ensemble de Mandelbrot.

Continuité d'une EDP par rapport au domaine

Catégorie d'évènement : Séminaire des doctorants Date/heure : 12 April 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Rémy Mougenot Résumé :

Une équation aux dérivées partielles est la donnée d’un opérateur, d’un second membre et d’un ouvert de l’espace. Comment se comportent les solutions de cette équation lorsque l’ouvert est légèrement perturbé ? À travers différentes illustrations, nous étudierons les différentes topologies possibles sur les domaines : convergence au sens de Hausdorff, des compacts, etc. Avant cela, nous rappellerons les différentes notions utilisées pour étudier les EDP variationnelles. Ensuite, nous chercherons les bonnes conditions sur les ouverts pour assurer la convergence des solutions ; lorsque l’opérateur est le Laplacien, on parle de $\gamma$-convergence. Ces résultats permettent notamment de prouver l’existence de formes minimales pour des problèmes d’optimisation de forme.

Géométrie de Poisson : théorie, exemples et applications en analyse numérique

Catégorie d'évènement : Séminaire des doctorants Date/heure : 22 March 2023 11:00-12:00 Lieu : Salle de séminaires Metz Oratrice ou orateur : Oscar Cosserat (La Rochelle) Résumé :

La dynamique hamiltonienne en géométrie de Poisson permet, via la géométrie différentielle, une description efficace et puissante des symétries de nombreuses équations de la mécanique conservative. J’expliquerai les grandes lignes de la théorie et l’illustrerai par des exemples. Enfin, je raconterai comment elle est mise à profit dans la conception de méthodes numériques résolvant lesdites équations en possédant des propriétés qualitatives remarquables, comme la préservation de symétries ou la stabilité au voisinage d’une singularité. J’illustrerai ces méthodes par des simulations numériques.

L’exposé repose en partie sur le preprint « Symplectic groupoids for Poisson integrators », 0.C., 2022 (arXiv : 2205.04838).

Multimodal Perception and Statistical Modeling of Pedagogical Classroom Events Using a Privacy-safe Non-individual Approach

Catégorie d'évènement : Séminaire des doctorants Date/heure : 22 February 2023 10:45-12:00 Lieu : Oratrice ou orateur : Anderson Augusma Résumé :

Les interactions entre humains sont fortement impactées par leur comportement. Ces comportements peuvent être caractérisés par des signaux tels que le sourire, la parole, le regard, la posture, le geste, etc. Également par l’espace, l’environnement, le temps, la situation et le contexte créés pour une activité particulière. Ces signaux définissent également l’émotion puisqu’il s’agit de réactions que les êtres humains éprouvent en réponse à un événement ou à une situation particulière. Selon l’événement ou la circonstance, la plupart de ces signaux peuvent être déclenchés. Cela se produit également dans les activités pédagogiques en classe. L’apprentissage social est multimodal et l’enseignement lui-même est complexe, ces indices sous-jacents ne sont ni entièrement visibles ni immédiats. Nous étudions Context-Aware Classroom (CAC) pour fournir un système de perception multimodal permettant de capturer les événements pédagogiques qui s’y déroulent, afin d’aider les (jeunes) enseignants à améliorer leurs pratiques

pédagogiques. Grâce au deep learning, qui a fait de grands progrès ces deux dernières décennies, et à la modélisation statistique, il est possible d’extraire et d’analyser les signaux évoqués plus haut pour caractériser ces événements. Le principal problème de cette enquête est le fait que la vie privée des participants peut ne pas être préservée. D’un point de vue éthique, de nombreux problèmes peuvent être causés, c’est-à-dire que la vie privée doit être prise en compte lors de la conception de modèles d’intelligence artificielle. Ainsi, au lieu de surveiller le comportement individuel, l’accent sera mis sur l’émotion globale, l’engagement global des étudiants et le niveau d’attention global de toute la classe en utilisant les signaux mentionnés ci-dessus.

https://hal.science/hal-03886510/

Ecritures en bases $\beta$ et nombres de Pisot

Catégorie d'évènement : Séminaire des doctorants Date/heure : 18 January 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Renan Laureti Résumé :

La méthode usuelle que nous utilisons pour écrire les nombres réels est le développement en base entière, qui consiste à exprimer un nombre réel $x$ selon les puissances négatives d’un entier $b>1$. Une question naturelle pour étendre ce procédé est la suivante : Que se passe-t-il si dans ce procédé on remplace l’entier $b$ par un réel $\beta>1$ ?

Nous verrons dans cet exposé les différences de fonctionnement des bases $\beta$ par rapport aux bases entières et parlerons de l’intérêt de considérer certaines classes de nombres comme les nombres de Pisot en tant que bases.

Autour de l'équation du plus bas niveau de Landau

Catégorie d'évènement : Séminaire des doctorants Date/heure : 7 December 2022 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Valentin Schwinte Résumé :

Dans cet exposé, nous discuterons autour de l’équation du plus bas niveau de Landau, qui apparaît dans de nombreuses situations de la mécanique quantique, telles que la supraconductivité ou les condensats de Bose-Einstein. Nous commencerons par l’étude des propriétés basiques de l’équation : symétries, quantités conservées, existence et unicité d’une solution. Dans le but de mieux comprendre cette équation, nous regarderons de plus près une classe de solutions particulières appelées ‘ondes stationnaires’. Si le temps nous le permet, nous étudierons une conjecture concernant le réseau d’Abrikosov.

"Ô mon beau laplacien !"

Catégorie d'évènement : Doctorants Date/heure : 30 November 2022 10:30-12:00 Lieu : Oratrice ou orateur : Nathan Couchet Résumé :

Au travers de deux grands problèmes de la Physique et plus généralement de l’Histoire des mathématiques, cet exposé vise à motiver l’étude des opérateurs différentiels. Nous discuterons dans un premier temps de géométrie spectrale en dimension 1 et 2. Il existe en effet un lien entre le nombre de valeurs propres du laplacien et la géométrie du domaine associée à l’équation acoustique d’Helmholtz.

Dans un second temps, nous explorerons la naissance du concept de solution fondamentale d’un opérateur différentiel. Celui-ci suggère deux notions aujourd’hui fondamentales : l’ellipticité et l’hypo-ellipticité.

Enfin, si le temps nous est favorable, nous parlerons du théorème original de Rockland de 1978, lequel dresse un parallèle entre hypo-ellipticité et théories des représentations du groupe d’Heisenberg.

Universal higher Lie algebras of singular spaces and their symmetries

Catégorie d'évènement : Séminaire des doctorants Date/heure : 9 November 2022 10:45-11:45 Lieu : Oratrice ou orateur : Ruben Louis Résumé :

1. Nous montrons qu’il existe une équivalence de catégories entre les algèbres de Lie-Rinehart sur
une algèbre commutative O et classes d’équivalence d’homotopie d’algébroïdes de Lie infinie
acycliques graduées négativement. Par conséquent, ce résultat donne un sens à l’algébroïde
de Lie infinie universelle d’un feuilletage singulier, sans hypothèse supplémentaire, et pour les algébroïdes de Lie singulières d’Androulidakis-Zambon. Ceci étend à un cadre purement algébrique
la construction de la Q-variété universelle d’un feuilletage singulier localement réel analytique
de Lavau-C.L.-Strobl.

2. La deuxième partie est consacrée à quelques applications des résultats sur les algèbres de Lie-Rinehart.

(a) On associe à toute variété affine une algébroïde de Lie infinie universelle de l’algèbre de Lie-
Rinehart de ses champs de vecteurs. Nous étudions l’effet de certaines opérations courantes
sur des variétés affines telles que les éclatements, germes en un point, etc.

(b) Nous donnons une interprétation de l’éclatement d’un feuilletage singulier F au sens de
Mohsen en termes de l’algébroïde de Lie infinie universelle de F.

(c) Nous étudions les symétries de feuilletages singuliers à travers des algébroïdes de Lie infinie
universelles. Plus précisément, nous prouvons qu’une action par symétrie faible d’une algèbre
de Lie g sur un feuilletage singulier F (qui est moralement une action de g sur l’espace des
feuilles M/F induit un unique morphisme de Lie infini à homotopie près de g vers l’algèbre
de Lie différentielle graduée (DGLA) des champs de vecteurs sur un algébroïde de Lie infinie
universelle de F. On déduit de ce résultat général plusieurs conséquences. Par exemple,
nous donnons un exemple d’action d’algèbre de Lie sur une sous-variété affine qui ne peut
s’étendre à l’espace ambiant. Enfin, nous présentons la notion de tour de bisubmersions
sur un feuilletage singulier et relève des symétries à celles-ci.

Introduction à des modèles de percolation avec et sans contraintes

Catégorie d'évènement : Séminaire des doctorants Date/heure : 26 October 2022 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Pierrick Siest Résumé :

Dans cet exposé je parlerai de percolation, qui est un domaine relativement récent des probabilités discrètes (1957). Étant donné un graphe $G=(V,E)$, une configuration de percolation $\omega$ sur $G$ est un élément de $\{0,1\}^E$, où la valeur $1$ pour une arête $e\in E$ code le fait qu’on considère que cette arête est “ouverte”, et la valeur $0$ qu’elle est “fermée”. On peut voir cette configuration comme un sous-graphe de $G$, en conservant les sommets de $G$ et où l’ensemble des arêtes est $\{e\in E~:~ \omega(e)=1\}$. Le choix d’une mesure de probabilité sur l’ensemble des configurations de percolation de $G$ définit un modèle de percolation sur $G$.

La percolation de Bernoulli, modèle qu’on appellera “sans contraintes”, sera le premier modèle étudié. Je parlerai de grands résultats qui ont été obtenus, mais également de certaines conjectures qui demeurent sur des graphes relativement simples.

Enfin j’aborderai le cas des modèles dits “avec contraintes”, qui constituent le sujet de ma thèse. Mon but sera de faire ressortir les difficultés que peuvent apporter ces contraintes, et de montrer des exemples de façons de les contourner.

Introduction à la théorie du contrôle et contrôle du problème de Stefan

Catégorie d'évènement : Séminaire des doctorants Date/heure : 5 October 2022 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Blaise Colle Résumé :

Dans cet exposé j’introduirai tout d’abord la notion de contrôle, qui est la discipline mathématique qui s’intéresse à guider des systèmes (physiques, biologiques, chimiques, mathématiques…) dont le comportement est régit

par un système d’EDO ou d’EDP. Plus précisément si on s’intéresse à l’EDO $\dot{x}=f(x,t,u)$, comment (et est il possible de) choisir $u$ pour avoir $X(0)=x_{0}$ et $X(T)=x_{T}$ pour $T>0$, $x_{0}$ et $x_{T}$ donnés?

Je présenterai les résultats les plus élémentaires du domaine.

Dans un second temps je présenterai mes travaux sur le problème de Stefan, un système couplé EDPs/EDO non linéaire et à frontière libre (le domaine sur lequel sont posées les EDPs bouge) qui modélise certains phénomènes de transitions de phases.

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