Geometry seminar

Je présenterai la conjecture en question, ses implications, les résultats connus et mes contributions.

Soit G un groupe réductif déployé (par exemple G=SL_n ou GL_n), k un corps et K=k(t), où K est une indéterminée. Si \omega est une valuation sur K, alors la théorie de Bruhat-Tits permet d’associer un « immeuble » I_\omega sur lequel le groupe G(K) agit, et on peut alors étudier G(K) via son action sur son immeuble.

Soient maintenant \omega_+ et \omega_- les valuations associées aux inclusions K\subset k((t)) et K\subset k((t^{-1})), et soient I_+ et I_- les immeubles associés. Alors I_+ et I_- sont reliés par une codistance d^*, qui définit un « jumelage » entre I_+ et I_-.

Dans cet exposé, je décrirai l’arbre jumelé de SL_2, puis je parlerai des masures jumelées que nous avons définies récemment avec Nicole Bardy-Panse et Guy Rousseau, ainsi que des polynômes de Kazhdan-Lusztig associés.

Iwahori a défini une déformation selon un paramètre q de l’algèbre de groupe d’un groupe de Weyl, dont les constantes de structure comptent le nombre de sous-groupes de Borel sur un corps à q éléments vérifiant certaines conditions.
Cette algèbre se présente par générateurs et relations, d’une manière qu’il est naturel de généraliser d’un groupe de Weyl à un groupe de Coxeter W arbitraire, fournissant les algèbres dites “de Hecke”.
Deodhar a construit des modules sur cette algèbre de Hecke dès lors qu’on se donne un sous-groupe parabolique W_P du groupe de Coxeter, en lien avec l’ordre de Bruhat sur le quotient W/W_P.
Nous verrons qu’il est possible de généraliser cette construction si l’on munit le sous-groupe parabolique W_P d’une involution et que l’on définit un ordre adéquat sur le quotient W/Z où Z est le groupe des points fixes de l’involution dans W_P.
Dans le cas particulier où W est le groupe de Weyl d’un groupe algébrique G muni d’un sous-groupe sphérique H, ce module se construit par une construction à la Iwahori, et on espère que des polynômes “de Kazhdan-Lusztig” définis algébriquement seraient égaux aux polynômes de Poincaré du complexe d’intersection des adhérences des H-orbites dans G/B, comme c’est le cas pour les variétés de Schubert (lorsque H=B).

Géométries de Hilbert et Funk, les mondes engloutis des convexes

Le model de Klein ou projectif de la géométrie hyperbolique se définit à l’aide de la convexité de la boule euclidienne et le birapport. Hilbert fera remarquer à Klein que sa construction permet de définir de nouvelles géométries à l’intérieur de n’importe quel convexe.
Elle est fortement lié à une autre géométrie de nature affine, dite de Funk. Je me propose de vous faire une introduction à ces géométries et vous mener jusqu’à quelques résultats récents obtenus avec Faifman et Walsh qui relient la croissance volumique de ces géométries aux conjectures de Mahler et Kalaï.

titre: geometrisation de la representation de Weil.

resumé: On va presenter la geometrisation de la representation de Weil
du groupe metaplectique sur un corps fini. Si le temps le permet, on
discutera aussi le cas de la representation de Weil du groupe
metaplectique sur un corps local non-archimédien et les applications
pour le programme de Langlands geometrique.