Differential geometry seminar

An important family of solutions to the Einstein vacuum equations is given by the Kerr metrics, which describe rotating black holes. In this talk, I will present some important geometric properties of these spacetimes relevant to the study of classical field equations such as the scalar waves, electromagnetism and linearized gravity. As observed by Teukolsky, by exploiting a special algebraic property of the spacetime, it is possible to decouple certain components of the fields from the rest of the system, leading to the so-called Teukolsky equation. Solutions of this equation can then be analyzed to recover information about the full system.

Guillemin calls a compact Lorentzian $3$-manifold “Zollfrei” if the geodesics flow on the nonzero lightlike vectors induces a fibration by circles (especially all lightlike geodesics are closed). He conjectured that these metric can only exist on $3$-manifolds covered by $S^2times S^1$. I will explain counterexamples on every nontrivial circle bundle over a closed surface. If time permits I will discuss what additional assumptions imply the conjecture and hint at what is the right conjecture in the general case.

We prove that complete submanifolds, on which the Omori-Yau weak maximum principle for the Hessian holds, with low codimension and bounded by cylinders of small radius must have points rich in large positive extrinsic curvature. The lower the codimension is, the richer such points are. The smaller the radius is, the larger such curvatures are. This work unifies and generalizes several previous results on submanifolds with nonpositive extrinsic curvature. Joint work with S. Canevari and F. Manfio.

Travail en commun avec Fida El Chami, Georges Habib et Roger Nakad. En nous basant sur des résultats d’Oussama Hijazi, Sebastià¡n Montiel et Simon Raulot, nous montrerons que, sous certaines hypothèses de courbure, une variété compacte à  bord feuilleté est nécessairement un produit riemannien, au moins localement.

Depuis le début du 20ème siècle, les groupes de torsion infinis ont été la source de nombreux développements en théorie de groupe : groupes de Burnside libre, monstre de Tarski, groupe de Grigorchuck, etc. D’un point de vue géométrique, on aimerait comprendre sur quel type d’espaces un tel groupe peut agir “raisonnablement” par isométries. Dans cet exposé, on étudiera le cas des espaces CAT(0) et plus précisément des complexes cubiques CAT(0). En particulier on présentera un exemple de groupe non moyennable muni d’une action propre sur un complexe cubique CAT(0). Le contenu de cet exposé est un travail en collaboration avec Vincent Guirardel.

Le flot géodésique sur les variétés riemanniennes est un système dynamique d’origine purement géométrique ; cependant relier ses propriétés dynamique à  la géométrie de la variété sous-jacente n’est pas toujours facile. Les travaux de Katok et de Besson-Courtois-Gallot ont montré que pour les variétés compactes à  courbure sectionnelle négative, les variétés localement symétriques correspondent exactement aux extrema de l’entropie. Qu’en est-il pour le flot sur des variétés qui n’admettent pas de structure localement symétrique ? Pour des variétés non-compactes ? Après avoir rappelé l’historique de ce problème, nous présenterons une réponse partielle à  ces questions : dans chaque classe conforme de métrique, les extrema de l’entropie correspondent à  des métriques à  courbure scalaire constante.

On s’intéresse à  classifier les variétés de dimension trois qui admettent une uniformisation CR sphérique, c’est-à -dire qui apparaissent comme le bord à  l’infini de surfaces hyperboliques complexes. J’expliquerai des constructions géométriques explicites qui montrent qu’une infinité de variétés hyperboliques réelles admettent une uniformisation CR sphérique.

This talk will describe various examples of surface groups in SO(4,1) in terms of fundamental domain of its action on S^3. This includes the first examples by Gromov-Lawson-Thurston, and new examples. We will also look at the quotient 3 manifolds which are circle bundles over closed surfaces and a proof of a soft bound on the Euler number of such circle bundles.

In a joint work with Mikaela Pilca (University of Regensburg-Germany), we establish a lower bound for the first eigenvalue of the Spin$^c$ Dirac operator defined on a Kähler-Einstein manifold $M$ of positive scalar curvature. This lower bound involves the index of $M$, its scalar curvature and an integer defining the Spin$^c$ structure. The limiting case is characterized by the existence of special spinor fields called Kählerian Killing spinors. As a geometric application of the limiting case, we prove that the only harmonic complex forms of type $(k, k)$ ($k>0$) on Kähler-Einstein manifolds admitting a complex contact structure are the constant multiples of the Kähler form.

On regarde des convexes dans R^{d+1} (muni de sa métrique Lorentzienne standard) tels que l’application de Gauss soit surjective sur l’espace hyperbolique. Comme pour les corps convexes, on peut définir des mesures d’aires pour ces convexes, et étudier des problèmes de mesure prescrite. Une classe d’exemples de tels convexe vient de variétés lorentziennes plates étudiées en relativité générale. Dans Minkowski, cela se donne des convexes invariants pour l’action de certains groupes d’isométries. On étudiera le problème de Minkowski (prescription de l’aire) pour ces convexes. Travaux partiellement en commun avec Francesco Bonsante et Giona Veronelli.

L’étude du flot de Ricci passe très souvent par la compréhension des conditions de positivité sur le tenseur de courbure qui sont stables sous l’action du flot de Ricci. Un principe du du maximum dà» à  Hamilton montre que l’étude des ces « conditions invariantes » revient à  l’étude de certains cônes invariants sous le flot d’un champ de vecteur sur l’espace des « opérateur de courbure algébriques ». Dans l’exposé on verra des résultats montrant certaines restrictions sur la taille de ces cônes invariants, en particulier ils ne peuvent pas contenir dans leur intérieur l’opérateur de courbure de CP^n, à  l’exception cône des opérateurs à  courbure scalaire positive.