Differential geometry seminar

Résumé

Depuis les travaux de M. Gromov sur les structures géométriques rigides,on sait que les structures rigides dont le groupe d’automorphisme a une dynamique « compliquée » sont souvent localement homogènes, au moins sur un ouvert dense.  Nous reviendrons sur quelques résultats classiques illustrant ce principe dans le cadre des variétés lorentziennes de dimension 3, et présenterons quelques aspects nouveaux.

We discuss the interrelation between the asymptotic behavior of the trajectories of the geodesic flow associated with the modular surface and Diophantine properties of the points at infinity corresponding to the trajectory. Using the correspondence we give estimates for the number of solutions for certain quadratic inequalities in terms of the Hurwitz continued fraction expansions of the slopes of their linear factors.

Introduction pour quelques exposés de type groupe de travail sur les courants. Le livre de Morgan “Geometric Measure Theory, a beginner’s guide” sera la référence.

Dans cet exposé, j’expliquerai l’influence de la géométrie sur l’existence des solutions pour les équations de Hardy-Sobolev perturbées. Plus précisément, on considère $(M,g)$ est une variété Riemannienne compacte et sans bord de dimension $n > 2$, $x_0$ un point singulier naturel et fixe de $M$.  L’équation de Hardy-Sobolev non perturbée est la suivante : (Eq-H-S) $Delta_g u + au = u^{2*(s)-1} / d_g(x,x_0)^s$ avec $s in ]0,2[, 2*(s)$ est l’exposant critique de Hardy-Sobolev, $Delta_g$ est l’opérateur de Beltrami-Laplace. */ Si $n > 3$ alors, par minimisation, il existe une solution de (Eq-H-S) quand le potentiel a est en dessous de la courbure scalaire en $x_0$. */ Si $n=3$ alors il existe une solution de (Eq-H-S) quand la masse de la variété en $x_0$ est strictement positive.   Dans le cas d’une équationÂ à  terme perturbatif sous-critique,  l’existence d’une solution d’ependra uniquement de la perturbation pour les grandes dimensions et qu’une interaction entre la géométrie globale de la variété et la perturbation apparaîtra en dimension 3.

Dans cet exposé, on s’interessera aux représentations du groupe fondamental d’une surface $S$ dans PGL(3) sur un corps valué ultramétrique, agissant sur l’immeuble affine $X$ associé.  On montrera que, dans le cas o๠$S$ a un bord, sous des conditions simples sur les coordonnées de décalage de Thurston-Penner-Fock-Goncharov, l’action préserve un sous-complexe dans $X$, cocompact et faiblement convexe, qui est par morceaux un arbre ou une surface.  En particulier on associe à  ces représentations une famille de $A_2$-complexes finis, analogues aux surfaces de translation et semi-translation mais avec holonomie dans $mathbb{Z}/3mathbb{Z}$, permettant notamment de calculer le spectre de longueurs / valeurs propres.  Cela permet de décrire explicitement une large famille de dégénérescences de structures projectives convexes sur la surface $S$.

L’exposé portera sur des propriétés asymptotiques des groupes de présentation finie. En particulier, il y a une telle propriété, que j’expliquerai, la QSF; elle est liée à  la simple connexité à  l’infini, à  la simple connexité géométrique et aux variétés de dimension trois. J’ai développé un programme pour montrer qu’elle est universelle pour tous les groupes de présentation finie. Ceci est lié, entre autres choses, aux travaux de Gromov et de G.Perelman. Aucune connaissance technique particulière ne sera nécessaire pour suivre l’exposé. Je vais tout définir et expliquer, aussi, le cadre historique du sujet.

In this talk we will consider two uniqueness problems in $mathbb{H}^2timesmathbb{R}$. First, we will prove a halfspace theorem for an ideal Scherk graph $S$ over a polygonal domain $D$ in $mathbb{H}^2$, that is, we will show that a properly immersed minimal surface contained in $Dtimesmathbb{R}$ and disjoint from $S$ is a translate of $S$. Second, we will consider a multi-valued Rado theorem for small perturbations of the Helicoid. More precisely, we will prove that for certain small perturbations of the boundary of a (compact) helicoid there exists only one minimal disk with that boundary.

Au début des années 90, G. Mess découvrit de profondes relations entre la géométrie Anti-de Sitter (AdS) et la théorie de Teichmà¼ller. En particulier, il existe un liens entre applications minimales lagrangiennes entre surfaces et surfaces maximales dans des variétés AdS. Nous expliquerons ce liens et l’étendrons aux cas des variétés à  singularités coniques. Cela démontre l’existence d’un unique difféomorphisme minimal lagrangien entre surfaces hyperboliques à  singularités coniques.

Je décrirai des exemples de sous-variétés minimales de codimension 2 dans des groupes de Lie compacts, essentiellement dans SU(n). Ces constructions, qui ont été réalisées avec Sigmundur Gudmundsson et Martin Svensson, s’inscrivent dans la continuité des travaux de ces deux auteurs sur les morphismes harmoniques d’un groupe de Lie G dans le plan complexe: il s’agit d’ applications harmoniques dont les fibres régulières sont des sous-variétés minimales. Je rappellerai la définition des morphismes harmoniques dans le cas plus général ainsi que les notions de théorie des représentations utilisées dans la construction.