Nous nous intéressons à l’analyse d’équations aux dérivées partielles posées sur des groupes de Lie nilpotents gradués et tout particulièrement à des phénomènes dits ‘haute fréquence’. Nous expliquerons comment l’on peut utiliser l’analyse harmonique du groupe pour développer une approche semi-classique, en analogie avec la théorie bâtie dans les années 70 sur l’espace ou le tore euclidien. Nous donnerons des exemples en lien avec les groupes de type Heisenberg.

Nous étudions la transformation de Poisson des hyperformes différentielles sur la sphère $S^{n-1}$ vue comme frontière de Furstenberg de l’espace hyperbolique réel $H^n(\mathbb R)$.
Pour $1< r < \infty$, $0\leq p < (n-1)/2$ et $q=p-1, p$, nous montrons de cette transformation est un isomorphisme topologique de l’espace $L^r$ des  $q$-hyperformes  de $S^{n-1}$ sur un sous-espace de type Hardy de l’espace des $p$-formes de $H^n(\mathbb R)$ qui sont functions propres du Laplacien de Hodge-de Rham.
(Travail en collaboration avec S. Bensaid et A. Boussejra)

Les notions de base sur les immeubles affines seront introduites : ces espaces sont des complexes cellulaires attachés à des groupes de Lie non archimédiens pour mieux les comprendre. Ensuite, quelques procédures classiques pour compacter ces espaces seront décrites, par analogie avec les espaces symétriques riemanniens non compacts. Ce sera enfin l’occasion d’expliquer en quel sens les compactifications de Martin fournissent un moyen naturel et analytique d’obtenir des compactifications « à gros bord » (obtenues plus artificiellement auparavant).

La description de la dynamique hors équilibre des systèmes quantiques ouverts, c.à.d. couplés à un environnement externe, pose des problèmes pas encore présents aux systèmes classiques. En particulier, le bruit quantique présent dans des équations Langevin est non markovien. Heuristiquement, on peut caractériser un bruit quantique par les propriétés suivants : (i) commutateurs canoniques aux temps égaux (ii) formule de Kubo pour la réponse linéaire (iii) théorème du viriel et surtout (iv) théorème fluctuation-dissipation quantique. Cette dernière propriété garantit pour toute température T>0  la relaxation du système vers un état d’équilibre quantique. Mathématiquement, cette caractérisation du bruit quantique est équivalente à la description traditionnelle de Caldeira et Leggett et de Ford-Kac-Mazur du type système-interaction-bain.

Le modèle sphérique a été introduit, par Berlin et Kac en 1952, afin de disposer d’un système exactement résoluble et capable d’avoir des transitions de phases à l’équilibre dont le propriétés ne se conforment pas à la théorie du champ moyen. Nous analysons ici les transitions de phases dynamiques qui se présentent lors du vieillissement, après une trempe du système initialement désordonné ,vers le point critique ou bien dans la phase ordonnée. Par rapport au cas classique (décrit par un bruit blanc markovien), des nouvelles techniques pour la solution explicite des équations Langevin sont requises. Ainsi on peut étudier la pertinence des propriétés non markoviens du bruit quantique sur la dynamique aux temps longs. Au cas de la dynamique quantique à température T=0, plusieurs différences qualitatives par rapport à la dynamique classique sont mises en évidence.

[1] R. Araújo, S. Wald, MH , J. Stat. Mech. 053101 (2019) [arxiv:1809.08975]

[2] S. Wald, MH, A. Gambassi, J. Stat. Mech. sous presse (2021) [arxiv:2106.08237]

Pas d’exposé en raison des journées SL2R à Strasbourg :

http://irma.math.unistra.fr/article1841.html

Soient $G=\mathrm{Spin}(n, 1)$ et $P$ un sous-groupe parabolique minimal de $G$. Soit $\pi$ une représentation unitaire irréductible de $G$. Dans cet exposé, je vais parler de la restriction de $\pi$ à P. Il s’agit d’un travail en commun avec Y. Oshima et J. Yu.

Je vais donner un survol des groupes quantiques semi-simples du point de vue géométrie non-commutative.  Je commencerai par expliquer la quantification des groupes de Lie semisimples compacts et complexes. Puis on discutera la géométrie des variétés de drapeaux quantiques, en commençant par l’exemple fondamental de la sphère de Podlès, une quantification de la sphère de Riemann $\mathbb{C}\mathbb{P}^1.$

Almost-Riemannian manifolds constitute a class of manifolds with singular metric tensors. They give rise to well defined metric spaces and can be seen as the simplest non-equiregular sub-Riemannian structures. They attracted a lot of interested lately due to the quantum confinement phenomena, which states that a quantum particle on some classes of almost-Riemannian manifolds is confined by the singularity, while a classical particle modelled by the geodesics is not. I will explain some results concerning this phenomena, including some recent works by myself and together with U. Boscain and E. Pozzoli.

Soutenance de these

Après avoir introduit le groupe des transformations birationnelles du plan projectif complexe, j’en donnerai quelques propriétés en faisant un parallèle avec les groupes linéaires.