Quatre exposés des équipes ATN et Géométrie, et de la bonhomie.

Avec Hadi Salmasian, nous avons récemment obtenu une classification des paires duales réductives irréductibles dans le supergroupe de Lie orthosympléctique, ainsi qu’une généralisation du théorème de double commutant pour l’algèbre de Weyl Clifford. En particulier, cela nous donne la dualité de Howe lorsque l’action du supergroupe (G, g) est semisimple. 

Je commencerai mon exposé par un (long) rappel sur la correspondance de Howe classique pour la représentation métapléctique et spinorielle (travail en commun avec Clément Guérin et Gang Liu), avant de présenter les résultats obtenus pour les supergroupes/superalgèbres.

Je commencerai par discuter brièvement l’analyse semi-classique pour introduire le concept de limites quantiques. Après cela, je donnerai un aperçu de la géométrie sous-Riemannienne et les récents développements en géométrie spectrale dans ce contexte, surtout en ce qui concerne les limites quantiques.

Mon exposé sera conçu comme une introduction au travail récent [hal-04231695]
en collaboration avec Pierre Germain (Imperial College) et Tristan Léger (Princeton).
Dans le cas des surfaces hyperboliques d’aire infinie, nous y établissons des estimations
$L^2-L^p$ quasi-optimales des projecteurs spectraux dans une petite fenêtre.
Je commencerai par rappeler l’origine du problème,
lié au théorème de restriction de Tomas-Stein dans le cas euclidien,
et par passer en revue différents cas d’études, où la réponse attendue est moins clair

We study various kinds of Grassmannians or Lagrangian Grassmannians over R, C or H, all of which can be expressed as G/P where G is a classical group and P is a parabolic subgroup of G with abelian unipotent radical. The same Grassmannians can also be realized as (classical) compact symmetric spaces G/K. We give explicit generators and relations for the de Rham cohomology rings of G/P=G/K. At the same time we describe certain filtered deformations of these rings, related to Clifford algebras and spin modules. While the cohomology rings are of our primary interest, the filtered setting of K-invariants in the Clifford algebra actually provides a more conceptual framework for the results we obtain. This is joint work with Kieran Calvert and Kyo Nishiyama.

In the past decades a kind of « quantum mathematics » has evolved as a more and more coherent theory. It contains, amongst others, C*-algebras (aka noncommutative topology), von Neumann algebras (aka noncommutative measure theory), Connes’s noncommutative (differential) geometry, Voiculescu’s free probability theory and many more. In this mostly analytic setting, Woronowicz’s quantum groups provide a suitable notion of quantum symmetry.
In this talk, we will give a pedestrian approach to quantum symmetries: We will introduce quantum permutations purely in the language of linear algebra and sketch its use in graph theory (see for instance an exciting extension of Lovasz’ homomorphism counts theorem from the 1960s). On the way, we will briefly mention the broader context of quantum mathematics, quantum groups and some links to quantum information theory. We will try to keep the talk quite algebraic and combinatorial and we will avoid too many details from analysis.

La décomposabilité géométrique  pour un groupoïde peut-être vue comme une forme d’implémentation de la technique de « cut-and-pasting » utilisée par G. Yu dans sa preuve de la conjecture de Novikov pour les groupes de dimension  asymptotique finie.

Dans cet exposé, nous introduirons tout d’abord ce concept de décomposabilité, puis nous établirons le lien avec la dimension asymptotique et plus généralement avec la notion de décomposabilité  à complexité finie pour un espace métrique. Nous donnerons des applications à la moyennabilité des groupoïdes (en particulier à celle des actions de groupes). Si le temps nous le permet nous discuterons d’applications à la calculabilité en K-théorie (en particulier à la conjecture de Baum-Connes).

Un groupe de Lie semisimple G peut être placé dans une famille de déformations qui aboutit dans le groupe de mouvements de Cartan.  Cette idée provient de Mackey avec clarification par Higson et Afgoustidis.  Si G est complexe, sa structure de Poisson-Lie permet une famille de déformations de $G$ dans des groupes quantiques découverts par Drinfeld, Woronowicz et d’autres.  Les deux déformations sont réunis dans des travaux de Monk & Voigt.  Dans cet exposé, j’essayerai de dessiner cette famille de déformations à 2 paramètres ainsi que ses duaux réduites.  Rien ne sera original.  Si le temps et l’enthousiasme le permet, j’ajouterai quelques réflexions speculatives sur le cas réel.

Let $G$ be a finite pseudo-reflection group and $\Omega$ be a bounded domain in $\mathbb C^d$ which is $G$-invariant. The quotient domain $\Omega/G,$ is biholomorphically equivalent to a domain ${{\boldsymbol \theta}} (\Omega)$ where ${{\boldsymbol \theta}} : \Omega \to {{\boldsymbol \theta}}(\Omega)$ is a basic polynomial map. Prominent example of a quotient domain is the symmetrized polydisc $\mathbb G_d$ in $\mathbb C^d.$ In this case, the basic polynomial map is given by $z \to (s_1(z), s_2(z), \cdots s_d(z))$ from $\mathbb D^d$ (unit polydisc in $\mathbb C^d$) to $\mathbb G_d$ where $s_j(z)$ is the $j$-th elementary symmetric polynomial. We study properties of Toeplitz operators on weighted Bergman spaces on ${{\boldsymbol \theta}}(\Omega)$ by establishing a connection of them with Toeplitz operators on weighted Bergman spaces on $\Omega.$ Results on zero product problem and commuting pairs of Toeplitz operators will be explained. Representation theory of $G$ and projections to isotypic components play an important role in our results. (Joint work with Gargi Ghosh)

We consider the real hyperbolic space $H^n(R)$ as the symmetric space $\operatorname{Spin}_0(1, n) / \operatorname{Spin}(n)$.
We prove that the Poisson transform is an isomorphism between the space of $L^2$-spinors on the unit sphere $S^{n-1}$ and a certain weighted $L^2$-space consisting of joint eigenspinors on $H^n(R)$. For this purpose, we prove a Fourier restriction estimate and an asymptotic formula for the Poisson transform.
As a consequence we prove a characterization for the generalized spectral projections.
This is a joint work with A. Boussejra.

Les suites de Bernstein-Gelfand-Gelfand trouvent leur origine en théorie des représentations des groupes de Lie semi-simples. Divers travaux leur ont ensuite donné une interprétation géométrique comme suite d’opérateurs différentiels sur certains espaces homogènes. Ce point de vue a permis à Čap, Slovák et Souček de les généraliser aux variétés possédant une géométrie parabolique au sens de Cartan. Ces variétés étant naturellement filtrées, des travaux récents de Dave et Haller ont montré que les suites d’opérateurs BGG satisfaisaient une certaine forme de la condition de Rockland (une extension de l’ellipticité pour les opérateurs pseudodifférentiels).

Dans cet exposé nous étendons la construction d’opérateurs de type BGG aux variétés feuilletés admettant une géométrie parabolique transverse. Nous définissons une condition de Rockland transverse adaptée à ces variétés et montrons que le complexe de de Rham tordu et les suites d’opérateurs BGG satisfont cette condition.

L’équation d’Einstein peut être obtenue comme le système d’équations d’Euler-Lagrange associées au Lagrangien d’Hilbert-Einstein, qui est essentiellement la courbure scalaire. Le tenseur de courbure, et donc l’équation d’Einstein, peut être construit et étudié sur le fibré des repères de l’espace-temps. Nous présenterons un Lagrangien sur une variété de dimension 10 dont les solutions aux équations d’Euler-Lagrange équipent la variété d’une structure qui est presque celle de l’espace des repères d’une variété d’Einstein. Ceci nous mènera à introduire une structure qui généralise celle des espaces de repères munis d’une connexion principale.

Les groupes quantiques compacts de matrices sont des généralisations des groupes de Lie compacts dans le contexte de la géométrie non-commutative. Malheureusement, il leur manque certains aspects fondamentaux des groupes classiques, et notamment un analogue de l’algèbre de Lie qui permettrait de définir une structure Riemannienne. Cela dit, on peut aussi retrouver cette structure de façon probabiliste à l’aide du mouvement Brownien. Je présenterai quelques travaux montrant comment cette approche probabiliste peut s’étendre au cadre quantique et éclairer le problème de la structure géométrique de ces groupes quantiques.

L’algèbre de Hopf des battages joue un rôle central dans la théorie des chemins rugueux formulée par T. Lyons à la fin du siècle dernier. Ceux-ci sont un substitut des intégrales itérées de Chen lorsque les chemins considérés ne sont pas différentiables, ni même Lipschitziens, mais seulement continus avec une régularité de Hölder.  L’algèbre de Hopf de Butcher-Connes-Kreimer, dont une base est donnée par les forêts enracinées décorées, joue un rôle similaire dans la théorie des chemins rugueux branchés developpée par M. Gubinelli quelques années plus tard. Au cours de cet exposé, je ferai une présentation succincte de la théorie des chemins rugueux, puis j’aborderai d’autres variantes de la notion de chemin rugueux, pilotés par d’autres algèbres de Hopf combinatoires.

Un opérateur de brisure de symétrie (SBO) est un opérateur d’entrelacement d’une représentation d’un groupe à une représentation irréductible d’un sous-groupe. Si $\Pi$ et $\Pi’$ sont en dualité de Howe, l‘espace des opérateurs brisant la symétrie de la représentation de Weil à la représentation $\Pi\otimes\Pi’$ est unidimensionnel. A une constante non-nulle près, dans cet espace il y a donc un unique SBO non trivial. La construction explicite du SBO apporte des informations supplémentaires sur la correspondance de Howe. Dans cet exposé, qui se base sur un projet en cours avec Mark McKee et Tomasz Przebinda (Université de l’Oklahoma), on étudiera les SBO correspondant à des paires duales réductives irréductibles ayant un membre compact. Ce sont des opérateurs pseudo-différentiels, dont nous calculons les symboles de Weyl. On présentera quelques résultats, exemples et applications.

In the past decades a kind of „quantum mathematics“ has evolved as a more and more coherent theory. It contains, amongst others, C*-algebras (aka noncommutative topology), von Neumann algebras (aka noncommutative measure theory), Connes’s noncommutative (differential) geometry, Voiculescu’s free probability theory and many more. In this mostly analytic setting, Woronowicz’s quantum groups provide a suitable notion of quantum symmetry.
In this talk, we will give a pedestrian approach to quantum symmetries: We will introduce quantum permutations purely in the language of linear algebra and sketch its use in graph theory (see for instance an exciting extension of Lovasz’ homomorphism counts theorem from the 1960s). On the way, we will briefly mention the broader context of quantum mathematics, quantum groups and some links to quantum information theory. We will try to keep the talk quite algebraic and combinatorial and we will avoid too many details from analysis.