Considering partial character sums as defining a family of random processes (by choosing the characters randomly from some set), it becomes natural to ask questions about the limiting distribution. I’ll describe this in some contexts and give examples of what we can find in the support. This is largely work of Ayesha Hussain, but also some joint work.

Soit P un polynôme à coefficients entiers, unitaire, irréductible, de degré 4 et de groupe de Galois diédral ou cyclique.
Il existe c = c(P) > 0, tel que P(n) ait un facteur premier supérieur à n^1+c pour une proportion positive d’entiers n.

Il s’agit d’un travail  avec James Maynard.

Répétition du séminaire Bourbaki du vendredi 1er avril.

Chebyshev famously observed empirically that more often than not, there are more primes of the form 3 mod 4 up to x than primes of the form 1 mod 4. This was confirmed theoretically much later by Rubinstein and Sarnak in a logarithmic density sense. Our understanding of this is conditional on the generalized Riemann Hypothesis as well as Linear Independence of the zeros of L-functions.

We investigate similar questions for sums of two squares in arithmetic progressions. We find a significantly stronger bias than in primes, which happens for almost all integers in a natural density sense. Because the bias is more pronounced, we do not need to assume Linear Independence of zeros, only a Chowla-type Conjecture on non-vanishing of L-functions at 1/2.

We’ll aim to be self-contained and define all the notions mentioned above during the talk. We shall review the origin of the bias in the case of primes and the work of Rubinstein and Sarnak. We’ll explain the main ideas behind the proof of the bias in the sums-of-squares setting.

Récemment, Lemke Oliver et Soundararajan ont observé d’importants biais dans la répartition de couples de nombres premiers consécutifs dans les progressions arithmétiques. Ils ont proposé un modèle heuristique basé sur la conjecture de Hardy–Littlewood qui explique très bien ces observations.
Nous discuterons la question analogue pour les nombres qui s’écrivent comme une somme de deux carrés d’entiers. Un biais semblable apparaît dans les données et nous développons un modèle heuristique similaire pour l’expliquer.
Travail joint avec Chantal David, Jungbae Nam et Jeremy Schlitt.

A celebrated theorem of Green-Tao asserts that the set of primes contains arbitrarily long arithmetic progressions. In fact, they count asymptotically the number of -term arithmetic progressions in primes up to a threshold. Their work involves discorrelation estimates between primes and nilsequences, which imply that the set of primes is Gowers uniform. In this talk I will discuss results of this type for primes restricted to short intervals and in arithmetic progressions. For example, we prove that the set of primes in   with is Gowers uniform; we also prove that, for almost all , the set of primes up to in a coprime residue class is Gowers uniform. This is based on joint works with K. Matomäki, J. Teräväinen, T. Tao.

Les polynômes de Fekete sont certains polynômes de type Littlewood dont les coefficients sont les valeurs du symbole de Legendre, ou plus généralement du symbole de Kronecker. Ces polynômes ont été considérés par Fekete afin d’étudier les zéros réels des fonctions L de Dirichlet, et d’essayer de démontrer la non-existence des fameux zéros de Siegel. Depuis lors, leurs zéros et la répartition de leurs valeurs ont été intensivement étudiés. Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents concernant les zéros réels des polynômes de Fekete. Je discuterai également de certaines applications de ces résultats, notamment aux changements de signes des sommes partielles de sommes de caractères quadratiques. Ceci est un travail en commun avec O. Klurman et M. Munsch.

Dans un travail en commun avec Michael Kaminski et Igor Shparlinski (arXiv:2110.04657), nous donnons des exemples explicites d’ensembles de $m$ formes linéaires en $n$ variables sur le corps des nombres rationnels, dont le calcul nécessite $m(n-1)$ additions.

On s’intéresse à des sommes exponentielles habituellement indexées par un système de représentants
des entiers inversibles modulo p, ou des inversibles modulo une puissance d’un nombre premier p.
Cependant, au lieu de regarder ces sommes complètes, on les restreint en les indexant seulement
par un sous-groupe d’ordre d fixé. Lorsque p tend vers l’infini en respectant certaines conditions de
congruence qui assurent l’existence d’un unique sous-groupe d’ordre d, on démontre que nos
familles de sommes exponentielles s’équirépartissent dans certaines régions du plan complexe
décrites comme l’image d’un tore par un polynôme de Laurent relativement explicite. Dans un second temps, on montre que l’on peut également restreindre le paramètre indexant la famille de sommes à ne parcourir que de très petits sous-groupes des classes inversibles modulo p, sans affecter le résultat d’équirépartition.

L’objectif est de construire un algorithme de fraction continue complexe trouvant toutes les meilleures approximations diophantiennes d’un nombre complexe. En utilisant la suite des vecteurs minimaux d’un réseau de $\mathbb{C}^2$ sur l’anneau des entiers de Gauss, nous obtenons un algorithme défini sur une sous-variété de $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$. La correspondance entre les vecteurs minimaux et les meilleures approximations diophantiennes garantit que notre algorithme atteint son but. Un sous-produit de l’algorithme est la meilleure constante pour la version complexe du théorème de Dirichlet sur les approximations des nombres complexes par les quotients de deux entiers gaussiens.

Une suite est dite pseudo-aléatoire est une suite qui « ressemble » à une suite aléatoire. Ces suites ont de nombreuses applications en cryptographie, en particulier, dans le chiffrement par flot et des dispositifs de registre à décalage à rétroaction linéaire. Pour évaluer ce caractère, il faut faire appel à plusieurs notions mathématiques telles que la corrélation, la complexité linéaire et bien d’autres mesures de complexité et répartition. Alors pour tenter de créer des suites pseudo-aléatoires, on peut prendre des exemples issus de la théorie des nombres comme la suite des valeurs du symbole de Legendre pour un grand nombre premier.

L’objectif de cette journée est d’expliciter différentes relations qui existent entre la cryptographie et la théorie des nombres et de mettre en évidence leur lien avec des suites pseudo-aléatoires.

Cette journée scientifique est organisée dans le cadre institutionnel de la Fédération Charles Hermite et avec le soutien de LUE-Digitrust et l’ANR ArithRand.

Programme de la journée

Organisateurs locaux:

Cécile Dartyge (IECL), Damien Jamet (LORIA), Pierre Popoli (IECL) et Thomas Stoll (IECL)

Erdős proved that there are infinitely many weakly prime numbers (also called (digitally) delicate primes), i.e. prime numbers such that changing any single one of the digits, in a given base, with any other digit always results in a composite number. Tao proved that weakly prime numbers constitute a positive proportion in all prime numbers. In this talk, we are going to discuss further quantitative refinements on the distribution of weakly prime numbers.

Dans cet exposé, on va s’intéresser aux informations qu’on peut donner sur les zéros d’un polynôme $P$ à coefficients complexes connaissant sa mesure de Mahler $M(P)$. Ces informations concerneront notamment la localisation des zéros, leur distance à certains points du cercle unité, le nombre de zéros réels.

On donnera également des résultats de minoration relatifs à la mesure de Mahler. Au fil de l’exposé, on revisitera ainsi des résultats classiques relatifs aux polynômes de $\mathbb{Z}[X]$, qu’on généralisera aux polynômes à coefficients complexes.

Par exemple, un théorème de A. Schinzel montre que tout polynôme $P$ de $\mathbb{Z}[X]$, totalement réel, de degré $d$, vérifiant $P(-1)P(1)\not=0$, $\vert P(0)\vert=1$, est tel que
\[M(P)\ge \Big(\frac{1+\sqrt 5}{2}\Big)^\frac{d}{2}.\]
Nous montrons que si un polynôme $P$ de $\mathbb{C}[X]$ possède $m\geq 1$ racines réelles et satisfait $P(-1)P(0)P(1) \neq 0$, alors
\[M(P)\ge \Bigg(\frac{\vert P(1)P(-1)\vert^{\frac{1}{m}}+\left(4^{\frac{d}{m}}\vert P(0)\vert^{\frac{2}{m}}+\vert P(1)P(-1)\vert^{\frac{2}{m}}\right)^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{d}{m}}}\Bigg)^{\frac{m}{2}}.\]

Séminaire commun avec l’équipe PS

One of the seemingly innocent reformulations of the terrifying Riemann Hypothesis (RH) is the Nyman-Beurling criterion: The indicator function of (0,1) can be linearly approximated in a L^2 space by dilations of the fractional part function. Randomizing these dilations generates new structures and criteria for RH, regularizing very intricate ones. One other possible nice feature is to consider polynomials instead of Dirichlet polynomials for the approximations. How then are the huge difficulties reallocated? The answers are quite surprising!

The talk will be very accessible, especially for graduate students.
Joint work with F. Alouges and E. Hillion.

Soit $b\geq2$ un entier et $\mathcal{N}_b=\{0,1,\ldots,b-1\}$ l’ensemble des chiffres associé. Tout nombre réel $x\in[0,1]$ admet une représentation de la forme \[x=\sum_{k\geq1} a_kb^{-k}=0.a_1a_2a_3\ldots,\] avec $a_k\in\mathcal{N}_b$. Le nombre $x$ est dit normal en base $b$ si pour tout entier $\ell\geq1$ toute suite $d_1\ldots d_\ell$ de longueur $\ell$ d’éléments de $\mathcal{N}_b$ a la même fréquence d’apparitions $b^{-\ell}$, i.e. \[\lim_{n\to\infty}\frac1n \#\left\{0\leq k< n\colon a_{k+1}=d_1,\ldots,a_{k+\ell}=d_\ell\right\} =b^{-\ell}. \]

Michel Mendés France a demandé s’il existe un nombre réel $x$ tel que $x$ et $1/x$ soient normaux en base $2$. Dans cet exposé nous allons construire un tel nombre et montrer qu’il est calculable. En particulier, nous allons montrer que $x$ et $1/x$ sont normaux en toute base $b\geq2$ et également normaux par rapport à l’écriture en fraction continue.

Il s’agit d’un travail en commun avec Verónica Becher de l’Université de Buenos Aires.

Un ensemble de Sidon d’un semi-groupe est un ensemble dont toutes les sommes de deux éléments sont distinctes. Des travaux de Bose, Chowla et Erdős établissent que le cardinal maximal d’un ensemble de Sidon dans un intervalle d’entiers de cardinal $n$ est équivalent à $\sqrt{n}$. Nous nous intéresserons au cardinal maximal d’un ensemble de Sidon dans l’union (de cardinal $n$) de deux intervalles. Un résultat d’Abbott affirme qu’il est supérieur à $0,0805\sqrt{n}$. Nous améliorerons cette borne et prouverons que ce cardinal est en fait supérieur à $0,8444\sqrt{n}$. Nous parlerons également d’autres résultats à propos des ensembles de Sidon et d’une de leurs généralisations : les ensembles $B_2[g]$.

Soient $\theta$ et $\rho$ des nombres réels avec $0 \le \theta, \rho < 1$ et $\theta$ irrationnel. Pour $n \ge 1$, posons $$ s_n := s_n (\theta, \rho) = \big\lfloor n \theta + \rho \big\rfloor – \big\lfloor (n-1) \theta + \rho \big\rfloor $$ Alors, le mot infini $$ {\bf s}_{\theta, \rho} := s_1 s_2 s_3 \ldots $$ est le mot sturmien (inférieur) de pente $\theta$ et d’intercept $\rho$, écrit sur l’alphabet $\{0, 1\}$. Nous explicitons le développement en fraction continue du nombre réel $$ \xi_{b, \theta, \rho} = (b-1) \, \sum_{n \ge 1} \, {s_n (\theta, \rho) \over b^n}. $$ Cela nous permet d’obtenir une formule donnant son exposant d’irrationalité en fonction de $\theta$ et du développement d’Ostrowski de $\rho$ en base $\theta$. Nous étendons ainsi un résultat classique de Böhmer (1927) qui ne couvre que le cas où $\rho = \theta$ et contient par exemple la surprenante égalité $$ \sum_{j \ge 1} {1 \over 2^{\lfloor j \gamma \rfloor} } = [0; 1, 2, 2, 2^2, 2^3, 2^5, 2^8, 2^{13}, 2^{21}, \ldots ], \quad \gamma = {1 + \sqrt{5} \over 2}. $$ Il s’agit d’un travail en commun avec Michel Laurent.

Soit $O_K$ l’anneau d’entiers algébriques d’un corps de nombres. Pour $a \in O_K \setminus \{0\}$ soit $N(a)$ la norme absolue de $a$, et $M = \{N(a) \colon a \in O_K \setminus \{0\} \}$. Il est bien connu que $M$ est un sous-semi-groupe multiplicatif de $\mathbb{N}^{\ast}$. Nous essayons de comprendre l’arithmétique de ces semi-groupes. Cela nous amène à étudier des suites à somme nulle pondérée sur des groupes abéliens finis.

Travaux en commun avec Safia Boukheche, Kamil Merito et Oscar Ordaz.