Séminaire de Géométrie complexe

On considère le problème de décrire les pairs d’endomorphismes holomorphes permutables (c.a.d. qui commutent) de l’espace projective complexe. Le cas de dimension $1$ est classique et a été classifié par Fatou, Julia et Ritt sous la condition

$f^n neq g^m$ pour tout $n,m geq 1.$ (1)

En dimension quelconque un théorème de Dinh et Sibony montre que, si $f$ et $g$ sont des endomorphismes permutables de $mathbb P^k$ et leurs degrés satisfont $d_f^n neq d_g^m$ pour tout $n,m geq 1$ alors $f$ et $g$ sont induits par des applications affines de $mathbb C^k$ après un quotient par un groupe discret de transformations affines. Leur conclusion n’est plus vraie si on remplace la condition sur les degrés par la condition plus faible $f^n neq g^m$ pour tout $n,m geq 1$. Un contre exemple existe en dimension $k geq 3$.

Le but de cet exposé est de présenter une description des endomorphismes permutables du plan projectif sous la condition plus faible (1), ce qui complète la classification en dimension 2.

La théorie de Hodge non-abélienne étudie la correspondance entre fibrés
plats et fibrés de Higgs sur une variété projective, correspondance
établie via la notion intermédiaire de fibré harmonique. On expliquera
comment la donnée d’un fibré harmonique est équivalente à  la donnée d’une
variation de structures de Hodge lacées, ces structure étant des analogues
en dimension infinie des structures de Hodge. Cette approche permet en
particulier d’associer une application des périodes à  tout fibré
harmonique, et ainsi d’imiter les techniques de théorie de Hodge
classique.

Démontrée par A. Parshin et S. Arakelov au début des années 1970,
la conjecture d’hyperbolicité de Shafarevich affirme qu’une famille de
courbes de genre g ≥ 2 paramétrée par une courbe non hyperbolique
(c’est-à -dire isomorphe à  $mathbb P^1$, $mathbb C$, $mathbb C^*$ ou une courbe elliptique)
est automatiquement isotriviale : les modules des fibres lisses sont
constants. En dimension supérieure, les travaux de E. Viehweg sur les
modules des variétés canoniquement polarisées l’ont amené à  formuler la
généralisation suivante : si une famille de variétés canoniquement
polarisées (paramétrée par une base quasi-projective) est de variation
maximale, alors la base est de log-type général. Il s’agit donc d’une
forme d’hyperbolicité algébrique attendue pour l’espace des modules. En
adaptant des résultats dus à  Y. Miyaoka sur la semi-positivité
générique du fibré cotangent au cadre logarithmique (et orbifolde), F.
Campana et M. Păun ont récemment obtenu une réponse positive à  la
conjecture de Viehweg. Cet exposé sera également l’occasion de
donner un aperçu de la classification des orbifoldes développée par
F. Campana. C’est d’ailleurs dans ce cadre que s’énonce la forme
optimale de la conjecture de Viehweg démontrée par B. Taji.

L’espace de Teichmà¼ller d’une variété $X$ réelle compacte orientée est classiquement défini comme le quotient de l’ensemble des opérateurs complexes sur $X$ par l’action du groupe des difféomorphismes isotopes à  l’identité. C’est naturellement une variété complexe lorsque $X$ est une surface. En dimension supérieure, malheureusement, ce n’est en général ni une variété ni un espace analytique, mais seulement un champ analytique. Le but de cet exposé est de décrire la structure locale de ce champ, en comparant l’espace de Teichmà¼ller au voisinage d’un point $J$ et l’espace de Kuranishi $K$ de $J$. Le point central est d’expliquer qu’il ne s’agit pas simplement du quotient de $K$ par l’action du groupe d’automorphismes de $J$, mais qu’il faut intégrer l’holonomie d’une structure multifeuilletée de l’espace des opérateurs complexes sur $X$.

Gieseker et Maruyama ont construit des espaces de modules de faisceaux semistables au dessus des variétés projectives polarisées de dimension supérieure a un. Le changement de la polarisation entraine en général une variation des espaces de modules correspondants, variation qui a été l’objet d’études approfondies en dimension deux. La poursuite de ces études en dimension supérieure s’est heurtée a l’apparition de façon essentielle des polarisations irrationnelles pour lesquelles même une construction des espaces de modules n’était pas disponible. Dans cet exposé nous présentons un travail en commun avec Daniel Greb et Julius Ross, dans lequel nous introduisons et étudions une nouvelle notion de stabilité qui nous permet de résoudre ces problèmes de construction et de variation au moins en dimension trois. Les nouveaux espaces de modules apparaissent comme des sous-schémas des espaces de modules de représentations de carquois.

L’existence de formes différentielles symétriques sur une variété projective a de nombreuses conséquences géométriques.
Dans cette exposé nous étudierons les formes différentielles symétriques sur les variétés intersections complètes dans l’espace projectif. Nous expliquerons comment dans certains cas il est possible de construire explicitement de tels objets et quelles conséquences on peut en tirer.

Codimension 1 (possibly singular) foliations on complex tori have been classified in
a work by Brunella, whereas Ghys studied codimension 1 smooth foliations on homogeneous
varieties, and managed to give a complete classification in the Kähler case. In a
joint work with Pereira we managed to find a generalization of Ghys’s results for smooth
foliations of arbitrary codimension on homogeneous compact Kähler manifolds.
The first result is a (rough) general classification theorem for such foliations; as an immediate
corollary, we prove that in the case of homogeneous compact rational Kähler manifolds
all smooth foliations are in fact locally trivial fibrations. By a more refined analysis of the
sheaves defining the foliation, we also prove that either there exists a non-trivial invariant
subvariety or the foliation is essentially given by a linear foliation on a torus.

le groupe de Cremona est le groupe des transformations birationnelles du plan projectif complexe dans lui-même. Après avoir rappelé l’action du groupe de Cremona sur l’espace de Picard-Manin, j’utiliserai celle-ci pour décrire les sous-groupes résolubles du groupe de Cremona.

Organisé par Johannes Nagel (Dijon) et Damien Mégy (Nancy). Deux mini-cours de trois heures: « Introduction to Mixed Hodge Modules » par Claude Sabbah et Damien Mégy, et « The role of algebraic tori in the Baily-Borel compactifications: Hodge and group theoretic aspects », par Chris Peters.

Plus d’informations sur http://math.u-bourgogne.fr/IMB/dubouloz/PS-A-2015/