PDE and applications working group | Nancy

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L’équation de courbure scalaire dans une classe conforme est une EDP elliptique non-linéaire d’ordre 2. La nonlinéarité est critique du point de vue des plongements de Sobolev. L’invariance conforme et cette criticalité rendent cette équation non-compacte, au sens où l’ensemble de ses solutions n’est pas compact dans C^2. Cette non-compacité perdure pour des perturbations de l’équation, et on parle alors d’instablité. Dans ces exposés, je parlerai des diverses description de cette instabilité pour cette équation ainsi que pour des classes plus large de problèmes, en particulier d’ordre >2.

L’équation de courbure scalaire dans une classe conforme est une EDP elliptique non-linéaire d’ordre 2. La nonlinéarité est critique du point de vue des plongements de Sobolev. L’invariance conforme et cette criticalité rendent cette équation non-compacte, au sens où l’ensemble de ses solutions n’est pas compact dans C^2. Cette non-compacité perdure pour des perturbations de l’équation, et on parle alors d’instabilité. Dans ces exposés, je parlerai des diverses description de cette instabilité pour cette équation ainsi que pour des classes plus large de problèmes, en particulier d’ordre >2.

Dans ce groupe de travail, je vais donner un aperçu général des différents résultats d’existence globale en temps d’une classe de systèmes de réaction-diffusion qui proviennent de la modélisation de l’écologie (Systèmes de Lotka-Volterra), , la chimie (réactions chimiques réversibles) et de nombreux autres domaines scientifiques.

Dans ce groupe de travail, je vais donner un aperçu général des différents résultats d’existence globale en temps d’une classe de systèmes de réaction-diffusion qui proviennent de la modélisation de l’écologie (Systèmes de Lotka-Volterra), , la chimie (réactions chimiques réversibles) et de nombreux autres domaines scientifiques.

On présente d’abord un ensemble de résultats concernant les équations d’Euler en mécanique des fluides, les immersions isométriques, et l’équation de Monge-Ampère au sens très faible. Le but est de souligner dans chaque cas la présence d’une dichotomie, dépendant de la régularité des solutions, de flexibilité (c.-à-d. l’existence et l’abondance de solutions dites anomales) et de rigidité (c.-à-d. les propriétés restrictives des solutions ). Ensuite, on décrit les structures sous-jacentes communes à ces EDP vues comme des problèmes d’inclusions différentielles, qui nous permettent d’utiliser les méthodes du théorème de Baire et de l’intégration convexe pour établir les résultats d’existence, où on fait valoir les aspects fondamentaux de ces méthodes. À titre d’exemple, on décrit comment prouver l’existence de solutions anormales très faibles de régularité de Lipschitz à l’équation de Monge-Ampère, et comment améliorer cette approche pour trouver des solutions C^{1,α} pour α < 1/5 ; (la valeur critique de α pour une telle construction reste un problème ouvert).

On présente d’abord un ensemble de résultats concernant les équations d’Euler en mécanique des fluides, les immersions isométriques, et l’équation de Monge-Ampère au sens très faible. Le but est de souligner dans chaque cas la présence d’une dichotomie, dépendant de la régularité des solutions, de flexibilité (c.-à-d. l’existence et l’abondance de solutions dites anomales) et de rigidité (c.-à-d. les propriétés restrictives des solutions ). Ensuite, on décrit les structures sous-jacentes communes à ces EDP vues comme des problèmes d’inclusions différentielles, qui nous permettent d’utiliser les méthodes du théorème de Baire et de l’intégration convexe pour établir les résultats d’existence, où on fait valoir les aspects fondamentaux de ces méthodes. À titre d’exemple, on décrit comment prouver l’existence de solutions anormales très faibles de régularité de Lipschitz à l’équation de Monge-Ampère, et comment améliorer cette approche pour trouver des solutions C^{1,α} pour α < 1/5 ; (la valeur critique de α pour une telle construction reste un problème ouvert).