Archive 2017

Cet expose donne une definition des processus ponctuels et presente quelques resultats. Parmi eux la formule de Campbell-Mecke, le theoreme de Slivniak-Mecke. Si le temps le permet les distributions de Palm reduites, ainsi que le theoreme de Georgii-Nguyen-Zessin vont etre presentes. Tous ces resultats sont a la base des nombreuses applications en statistique spatialisee.

Dans cet exposé on considère des Equations Différentielles Stochastiques (EDS) unidimensionnelles faisant intervenir le temps local du processus inconnu, ainsi que des coefficients discontinus. Ce type d’EDS est en lien avec les opérateurs sous forme divergence à  coefficients discontinus, ainsi qu’avec les Equations aux Dérivées Partielles (EDP) avec condition de transmission. Ces résultats son assez bien connus dans le cas homogène en temps.
On se penche ici sur le cas o๠tous les coefficients de l’équation dépendent du temps. On montre des résultats d’existence et d’unicité des solutions pour ce type d’EDS (on étend ainsi des résultats pour le cas homogène qui remontent à  J.-F. Le Gall, 1984). Puis on établit le lien, via une formule de Feynman-Kac, entre la solution de l’EDS et la solution classique d’une EDP parabolique avec condition de transmission, et coefficients non-homogènes en temps – en particulier la condition de transmission devient elle-même inhomogène en temps. Nous prouvons nous-mêmes l’existence d’une telle solution classique à  l’EDP. Pour ce faire, on s’appuie sur les travaux de Ladyzhenskaya et al. (1966), qui ne fournissent toutefois pas le résultat directement. On se sert finalement de ces résultats pour étudier le caractère Feller de la solution de l’EDS.
Travail en commun avec Miguel Martinez de l’UPEMLV.

Je reviendrai sur la question générale de l’approche trajectorielle (pathwise) des systèmes différentiels stochastiques (équation standard, EDP), à  travers l’évocation de quelques unes des constructions qui lui sont liées : intégrale de Young, théorie des rough paths, regularity structures. Aucun prérequis ne sera nécessaire.

The Tara Oceans expedition [sunagawa et al, 2005] facilitated the study of plankton communities by providing the scientists with ocean metagenomic data combined with environmental measures. During the expedition, 243 seawater samples were collected from 68 locations representing all main oceanic regions at three depth layers: the surface (SRF), the deep chlorophyll maximum (DCM) layer and the mesopelagic (MES) zone. During the presentation, I will describe a method to integrate information provided by different datasets collected during the expedition. The approach uses kernels which are combined in an unsupervised setting for data mining purposes. Additionnaly, tools to help the interpretation of the results are given and shows that well known facts about parts of the datasets are recovered and that new insights on the data are also obtained.

Le sujet de cet exposé est d’étudier l’équation de McKean-Vlasov au travers de trois limites. La première est la limite champ moyen qui stipule que le modèle de McKean-Vlasov est une bonne approximation d’un système de particules en interaction de type champ moyen quand le nombre de particules tend vers l’infini. La deuxième consiste à  regarder le comportement de la loi du processus lorsque le temps tend vers l’infini. En particulier, on cherche à  obtenir une convergence vers la (une des) probabilité(s) invariante(s). Enfin, la troisième limite concerne le temps de sortie lorsque le coefficient de diffusion est asymptotiquement petit. On rappellera les résultats classiques (ou pas) lorsque le potentiel de confinement et le potentiel d’interaction sont tous les deux convexes. Puis, on présentera le cas o๠le potentiel de confinement n’est pas convexe.

Nous étudions la percolation gelée et les processus de feux de foràƒÂªts. La percolation gelée est un processus de percolation oàƒÂ¹ chaque composante connexe arràƒÂªte de croàƒÂ®tre (« gàƒÂ¨le ») dàƒÂ¨s qu’elle devient infinie. Ce modàƒÂ¨le a été introduit par Aldous en 1999 sur l’arbre binaire, et nous discutons un processus analogue en deux dimensions, pour lequel les composantes connexes gàƒÂ¨lent dàƒÂ¨s qu’elles contiennent au moins N sommets, pour un certain paramàƒÂ¨tre N. En particulier, nous prouvons que la densité de sites gelés tend vers 0 lorsque N tend vers l’infini, et nous établissons une propriété de « déconcentration » pour les tailles des composantes connexes. Nous évoquons également des résultats similaires pour les feux de foràƒÂªts. ApràƒÂ¨s une introduction générale sur la percolation indépendante, nous présentons en détail les principaux outils pour décrire sa transition de phase en deux dimensions. Cette compréhension de la percolation pràƒÂ¨s du point critique joue un ràƒÂ´le fondamental dans nos résultats. Cet exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Rob van den Berg (CWI and VU, Amsterdam) et Demeter Kiss (U. Cambridge).

On commencera par présenter deux exemples classiques d’entrelacement markovien :
le théorème de Pitman sur la relation entre le mouvement brownien unidimensionel et le processus de Bessel de dimension 3
et l’estimation par Aldous et Diaconis de la convergence à  l’équilibre de mélanges de cartes via des temps forts de stationarité.
Puis on rappellera comment plonger ces exemples historiques dans un cadre unifié, grâce à  la théorie de la dualité due à  Diaconis et Fill.
Enfin on étendra partiellement ces résultats en direction des diffusions elliptiques sur des variétés, pour retrouver des théorèmes de densité,
à  travers des modifications stochastiques des flots de courbure moyenne.
Avec l’espoir que ceci conduira (dans un futur assez lointain …) à  une nouvelle approche probabiliste du théorème de Hörmander.

On se donne une famille de mesures réelles indexées sur R. Ces mesures sont les marges de nombreux processus très différents les uns des autres. On pense d’abord au processus indépendant (dont la loi est la mesure produit) qui est markovien, ou au processus quantile (alias comonotone) qui préserve l’ordre des quantiles. Je présenterai un nouveau processus qui combine les deux propriétés, dans un sens précis, et dont je donnerai des exemples variés. Nous verrons une application intéressante à  la théorie du transport et comment l’existence du processus complète les résultats de Kellerer sur les peacocks. Il s’agit un travail en collaboration avec Charles Boubel.

Le TASEP est un système de particules sur $ mathbb{Z}$ dans lequel chaque particule essaie indépendamment de sauter d’un pas vers la droite aux instants d’un processus de Poisson, le saut n’ayant lieu que si le site visé est libre. C’est un modèle ultra-simplifié de trafic routier. Le flux de particules est une fonction explicite, strictement concave, de la densité moyenne. Ce caractère explicite, lié à  la connaissance explicite des mesures invariantes du processus, persiste si l’on ajoute du désordre de particules, en faisant varier l’intensité du processus de Poisson d’une particule à  l’autre (véhicules lents/rapides). On observe alors une transition entre un régime laminaire à  basse densité, ou le courant est linéaire, et un régime d’exclusion à  haute densité. Dans le cas du désordre de site (sites rapides/sites lents), les mesures invariantes ne sont plus connues, et la fonction courant n’est plus explicite. Nous démontrons que le courant présente un plateau autour de la densité 1/2 et obtenons la limite explicite de cette fonction et de la taille du plateau dans la limite du désordre dilué. Notre preuve repose sur un argument de renormalisation appliqué à  la percolation de dernier passage, et des idées d’homogénéisation.
(Travail en collaboration avec Thierry Bodineau)

Le modèle des graphes aléatoires hyperboliques était introduit comme un modèle prometteur pour les réseaux complexes. Nous considérons le modèle de Krioukov et al. et nous calculons le trou spectral de la Laplacienne de ce modèle. Plus précisément, nous montrons que $ lambda_2$ d’un tel graphe est $ Omega(n^{-(2alpha-1)}/polylog(n))$, o๠$ n$ est le nombre de noeuds et $ 1/2 < alpha < 1$ est un paramètre du modèle. Nous concluons aussi que la borne supérieure de $ lambda_2$ obtenue par l'inégalité de Cheeger est presque atteinte. Nous caractérisons aussi les ensembles des noeuds pour lesquelles cette borne est atteinte.
(travail en collaboration avec Marcos Kiwi)

La Mécanique Statistique s’est révélée être un cadre bien adapté à  l’étudedes propriétés physiques des polymères en interaction avec un milieu extérieur.Les questions principales auxquelles les mathématiciens tentent de répondre concernentles transitions de phase (localisation, effondrement etc.) auxquelles les modèles de polymèredonnent lieu, mais également les propriétés géométriques typiquesd’un polymère dans un milieu donné, et à  une température donnée.Dans cet exposé je développerai plus particulièrement les résultats obtenusconcernant la transition d’effondrement d’un modèle de marche aléatoirepartiellement dirigée en auto-interaction, introduit par Zwanzig et Lauritzen (Jour. Chem. Phys. 1968)pour étudier le comportement d’un homopolymère plongé dans un solvant pauvre. Je présenterai également un résultatrécent d’existence de la transition d’effondrement pour une variante non dirigée de ce modèle.Il s’agit de travaux en collaboration avec Philippe Carmona, Gia Bao Nguyen et Niccolo Torri.

Nous considérons un modèle d’appariement d’entités générées aléatoirement, pour lequel les paires possibles sont fixées par un graphe simple de compatibilité. Ce modèle, qui a des applications naturelles à  l’économie participative, la gestion des banques de sang et d’organes et aux chaînes de production, généralise celui d’appariement biparti de Kaldentey, Kaplan et Weiss à  un graphe non-nécessairement biparti. La stabilité du système est étudiée suivant les propriétés structurelles du graphes de compatibilité. Nous proposons une classe de graphes pour lesquels la zone de stabilité ne dépend pas de la politique d’appariement (i.e. l’ordre de priorité en cas de choix multiple), et une réciproque partielle. En outre, nous montrons sous certaines conditions l’existence d’une forme produit particulière pour sa représentation Markovienne sous la politique « Premier entré, premier marié. » Des connexions de ces résultats avec la théorie classique d’appariement dans les graphes (et dans les grands graphes aléatoires) seront aussi proposées. (travaux joints avec Jean Mairesse, Ana Busic et Ohad Perry).

Nous nous intéresserons aux liens qui existent entre deux échelles de modélisation neurobiologique. A un niveau microscopique, l’activité électrique de chaque neurone est représentée par un processus ponctuel. à  une plus grande échelle, un système d’EDP structuré en âge décrit la dynamique moyenne de ces activités. Nous montrerons que le modèle macroscopique (système d’EDP) peut se retrouver à  partir d’un réseau de $ n$ neurones en champ-moyen quand $ n$ tend vers $+infty$ via une « Loi des grands nombres ». De plus, les fluctuations du réseau de $ n$ neurones autour du comportement limite/macroscopique sont caractérisées par un « Théorème central limite ». Cette étude finale permet la dérivation d’un système d’EDP stochastique, plus proche de la dynamique microscopique que le système d’EDP classique.

Realized statistics based on high frequency returns have become very
popular in financial economics.In recent years,
different non-parametric estimators of the variation of a log-price
process have appeared. Among them are the realized
quadratic (co-)variation which is perhaps the most well known example,
providing a consistent estimator of the integrated
(co-)volatility when the logarithmic price process is continuous. In
this paper, we propose to study the large deviation
properties of realized (co-)volatility. Our main motivation is to
improve upon the existing limit theorems such as the weak law
of large numbers or the central limit theorem which have been proved in
different contexts. Our large deviations results can
be used to evaluate and approximate tail probabilities of realized
(co-)volatility. As an application we provide the large deviations
for the standard dependence measures between the two assets returns such
as the realized regression coefficients or the
realized correlation. Our study should contribute to the recent trend of
research on the (co-)variance estimation problems, which
are quite often discussed in high-frequency financial data analysis.

After presenting the optimal stopping problem and a classical example, we present some recent results in optimal stopping for Lévy processes and multidimensional diffusions. The possibility of extending this results to one-dimensional diffusion with discontinuous coefficients will be discussed.

Dans cet exposé je décrirai une structure (formellement) Riemanniene du
transport optimal, originellement introduite par Felix Otto. Ce point de
vue permet d’identifier certains processus de diffusion comme des flots
gradients dans l’espace métriques des mesures de probabilité muni de la
distance de Wasserstein $(mathcal P(mathbb R^d),W_2)$.
Ce cadre Riemannien permet de faire un lien très naturel entre
l’approche Bakry-Émery et les inégalités fonctionnelles
d’Entropy-Entropy production d’une part, et d’autre part la convexité
géodésique au sens de McCann. Ce point de vue permet d’obtenir
facilement des résultats de convergence en temps long.
Si le temps le permet je parlerai enfin d’une généralisation au cadre du
transport optimal non-conservatif, que j’ai introduit récemment avec mes
collaborateurs (et simultanément avec deux autres équipes de façon
indépendante) et qui permet d’étendre la structure Riemannienne aux
mesures de Radon de masse arbitraire.

Dans cet exposé je parlerai du processus de contact sous critique. Ce processus modélise une infection qui s’éteint presque sà»rement si on commence avec un nombre fini de particules infectées et qu’on choisit un paramètre d’infection suffisamment petit. Mais que se passe-t-il si, dans ce même régime, on part cette fois d’un nombre infini de particules infectées? Je présenterai un travail en collaboration avec Leonardo T. Rolla o๠nous donnons une description des configurations asymptotiques. Une configuration sera décrite par la collection des « emplacements macroscopiques » des zones de particules infectées et par la position relative de ces particules dans chaque zone (faisant intervenir la distribution quasi stationnaire du processus de contact modulo translation). Ce travail est une extension d’un résultat de Andjel, Ezanno, Groisman et Rolla qui décrit le processus de contact sous critique vu depuis la particule la plus à  droite en dimension 1.

Dans cet exposé je décrirai une structure (formellement) Riemanniene du
transport optimal, originellement introduite par Felix Otto. Ce point de
vue permet d’identifier certains processus de diffusion comme des flots
gradients dans l’espace métriques des mesures de probabilité muni de la
distance de Wasserstein $(mathcal P(mathbb R^d),W_2)$.
Ce cadre Riemannien permet de faire un lien très naturel entre
l’approche Bakry-Émery et les inégalités fonctionnelles
d’Entropy-Entropy production d’une part, et d’autre part la convexité
géodésique au sens de McCann. Ce point de vue permet d’obtenir
facilement des résultats de convergence en temps long.
Si le temps le permet je parlerai enfin d’une généralisation au cadre du
transport optimal non-conservatif, que j’ai introduit récemment avec mes
collaborateurs (et simultanément avec deux autres équipes de façon
indépendante) et qui permet d’étendre la structure Riemannienne aux
mesures de Radon de masse arbitraire.

We consider semi-linear PDEs perturbed by a multiplicative noise
of the form

$
du(t,x)=[Au(t,x)+G(u(t,x))]dt+ku(t,x)dW(t),
$

where $ A$ is the Laplacian, $ G$ is a positive, increasing convex function, $ k
$ is constant and $ {W(t)}$ is a one-dimensional Brownian motion.
Nontrivial positive solutions of these equations can exist globally in time,
or they can exhibit blow up in finite time. In this talk we will focus on
the later regime and obtain bounds for the blow up times, which are given in
terms of integral functionals of $ {W(t)}$.

The Keller Segel (KS) model for chemotaxis is a two-dimensional system of parabolic or elliptic PDEs. Motivated by the study of the fully parabolic model using probabilistic methods, we give rise to a non linear SDE of McKean-Vlasov type with a highly non standard and singular interaction.
In this talk I will briefly introduce the KS model, point out some of the PDE analysis results on it and then, in detail, analyze our probabilistic interpretation in the case d=1.
This is a joint work with D. Talay.

Concentration inequalities are very often a crucial step in deriving many results in statistical learning. The purpose of this talk is to present Bernstein and Hoeffding type maximal inequalities for regenerative Markov chains. Furthermore, we generalize these results and show exponential bounds for suprema of empirical processes over a class of functions F which size is controlled by its uniform entropy number. We show also that concentration inequalities are possible to obtain when the chain is sub-geometric. All constants involved in the bounds of the considered inequalities are given in an explicit form which can be advantageous in practical considerations. We show that the inequalities obtained for regenerative Markov chains can be easily generalized to a Harris recurrent case. Finally we provide one example of application of presented inequalities in statistical learning theory and obtain generalization bounds for mimimum volume set estimation problem when the data are Markovian.

Cet expose continue la suite initiee cette annee sur la definition et la caracterisation des processus ponctuels. Apres un rappel de ce qui a ete presente dans les seances precedentes, l’expose va continuer avec la description des liens entre la loi d’un processus ponctuel et les mesures de Palm associees. Pour cela, apres une discution sur les implications du theoreme de Slyvniak-Mecke, l’intensite conditionnelle, le theoreme de Georgii-Nguyen-Zessin vont être présentées, pour aboutir finalement à  la caracterisation differentielle d’un processus ponctuel de Gibbs.

Les arbres apparaissent naturellement dans de nombreux domaines tels que l’informatique pour le stockage de données ou encore la biologie pour classer des espèces dans des arbres phylogénétiques.
Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux limites de fonctionnelles additives de grands arbres aléatoires. Nous étudierons les cas des arbres binaires sous le modèle de Catalan (arbres aléatoires choisis uniformément parmi les arbres binaires enracinés complets ordonnés avec un nombre de nÅ“ud donné) et les arbres simplement générés. On obtiendra un principe d’invariance pour ces fonctionnelles ainsi que les fluctuations associées.
Dans le cas binaire, la preuve repose sur le lien entre les arbres binaires et l’excursion brownienne normalisée (voir Aldous [1]). Cela nous permettra de retrouver les résultats avancés par Fill et Kapur [2] et Fill et Janson [3].
Références :
[1] : D. Aldous. The continuum random tree. III. (1993)
[2] : J.A. Fill and N.Kapur. Limiting distributions for additive functionals on Catalan trees (2004)
[3] : J.A. Fill and S. Janson. Precise logarithmics for the right tails of some limit random variables for random trees (2009)

On présente la solution fondamentale d’une équation aux dérivées partielles à  coefficient constants par morceaux. De telles équations apparaissent, entre autres, lors de la modélisation de la diffusion de particules dans des milieux hétérogènes. Partant d’une représentation probabiliste de la solution, on explicite un développement asymptotique en temps petits, utilisable dans les applications concrètes.

Une égalité due à  Spitzer relie la loi du maximum d’une marche aléatoire à  celle
de ses sommes partielles. En 1960, Glenn Baxter donne une preuve élégante de
cette égalité probabiliste, en la réduisant tout d’abord à  un problème d’analyse,
puis à  un problème algébrique qui résolu par des arguments de nature combinatoire.
L’idée principale, qui donna naissance aux algèbre de Rota-Baxter, est de généraliser
une identité de produit d’intégrales et de l’appliquer à  la résolution d’équation linéaire.

G. Baxter, An analytic problem whose solution follows from a simple algebraic identity,
Pacific J. Math. 10 (1960), 731–42.

Une application déterministe $theta$ de $R^2$ dans lui-même déforme le plan de façon bijective et régulière. Avec un champ aléatoire $X$ réel et défini sur $R^2$, régulier, stationnaire et isotrope, elle entre dans la construction d’un champ déformé défini comme la composée de $X$ avec $theta$. Un champ déformé est en général anisotrope, cependant certaines applications $theta$, dont on propose une caractérisation explicite, préservent l’isotropie. En supposant en outre que $X$ est gaussien, on définit une forme faible d’isotropie d’un champ déformé par une condition d’invariance de la caractéristique d’Euler moyenne de certains de ses ensembles d’excursion. On prouve que les champs déformés satisfaisant cette définition sont en réalité isotropes en loi. Dans une dernière partie de l’exposé, en supposant connue la caractéristique d’Euler moyenne de certains ensembles d’excursion d’un champ déformé, on prouve qu’il est possible d’identifier la déformation $theta$ associée.

La théorie statistique de l’apprentissage porte sur trois problèmes d’inférence empirique : la discrimination, la régression et l’estimation de la fonction de densité. Cette présentation se concentre sur la discrimination. Nous exposons les garanties disponibles sur les performances en généralisation des systèmes discriminants (risques garantis), en privilégiant le cas o๠ceux-ci s’appuient sur le concept de marge. L’intervalle de confiance de ces risques garantis dépend de trois paramètres principaux : la taille m de l’échantillon, le nombre C de catégories et la valeur gamma du paramètre de marge. Nous caractérisons cette dépendance en fonction du choix de la fonction de perte.

La théorie statistique de l’apprentissage porte sur trois problèmes d’inférence empirique : la discrimination, la régression et l’estimation de la fonction de densité. Cette présentation se concentre sur la discrimination. Nous exposons les garanties disponibles sur les performances en généralisation des systèmes discriminants (risques garantis), en privilégiant le cas o๠ceux-ci s’appuient sur le concept de marge. L’intervalle de confiance de ces risques garantis dépend de trois paramètres principaux : la taille m de l’échantillon, le nombre C de catégories et la valeur gamma du paramètre de marge. Nous caractérisons cette dépendance en fonction du choix de la fonction de perte.

The cosmic web is a highly complex geometrical pattern, with galaxy clusters at the intersection of filaments and filaments at the intersection of walls. Using observational data, we can visually recognize the main components of the cosmic web: voids, filaments and (super)clusters. However, to classify the cosmic web using mathematical methods is much more complicated task, which also involves the analysis of observational selection effects. In my talk I will give a brief overview about the observed large-scale structure together with the main selection effects that should be taken into account while analyzing the data.

On discutera d’anciens et nouveaux résultats concernant le collectionneur de coupon, en lien avec les processus de Poisson, les nombres de Stirling, le schéma d’Euler, et quelques objets combinatoires associés à  ces problèmes.
Travail en collaboration avec Anis Amri.

Sur l’exemple de l’équation de Schrödinger, on présentera quelques idées utilisées pour montrer l’existence et l’unicité de solutions. Ensuite on montrera comment on peut améliorer ces résultats à  l’aide de méthodes probabilistes (inégalité de Khintchin, chaos de Wiener, mesures de Gibbs), si l’on munit l’équation de conditions initiales aléatoires.

Nous considérons, sur le plan, la DSF (Directed Spanning Forest) qui est une forêt dirigée introduite par Baccelli et Bordenave (2007). Soient un processus de Poisson homogène dans le plan et une direction privilégiée (par exemple -e_y). Nous définissons l’ancêtre de chaque atome du processus de Poisson comme étant l’atome le plus proche (pour la distance euclidienne) et d’ordonnée supérieure. Le graphe résultant est la DSF : il s’agit d’une forêt, et même presque sà»rement d’un arbre. Sous de bonnes renormalisations, nous montrons que cette forêt converge en loi vers la toile Brownienne (BW, comme Brownian Web). Dans le cas de la DSF, la difficulté majeure est que la construction, pourtant simple et naturelle, crée des dépendances géométriques très complexes : au fur et à  mesure de la construction du graphe, on accumule une information sur la vacuité de certaines régions (aléatoires) du plan. Les critères de convergence existant dans la littérature s’appuient sur des estimées obtenues en général par la construction de martingales ou chaînes de Markov, constructions qui sont impossibles ici. L’obtention de ces estimées clé s’appuie sur des idées de renouvellement fondées sur la géométrie du problème.

Ceci est un travail en commun avec D. Coupier, K. Saha et A. Sarkar.

Sur l’exemple de l’équation de Schrödinger, on présentera quelques idées utilisées pour montrer l’existence et l’unicité de solutions. Ensuite on montrera comment on peut améliorer ces résultats à  l’aide de méthodes probabilistes (inégalité de Khintchin, chaos de Wiener, mesures de Gibbs), si l’on munit l’équation de conditions initiales aléatoires.

We study the simultaneous domain selection problem for varying coefficient models as a functional regression model for longitudinal data with many covariates. The domain selection problem in functional regression mostly appears under the functional linear regression with scalar response but there is no direct correspondence to functional response models with many covariates. We reformulate the problem as nonparametric function estimation under the notation of « functional sparsity ». Sparsity is the recurrent theme that encapsulates interpretability in the face of regression with multiple inputs, and the problem of sparse estimation is well understood in the parametric setting as variable selection. For nonparametric models, interpretability not only concerns the number of covariates involved but also the {em functional form} of the estimates, and so the sparsity consideration is much more complex. To distinguish the types of sparsity in nonparametric models, we call the former « global sparsity » and the latter « local sparsity », which constitute functional sparsity. Most existing methods focus on directly extending the framework of parametric sparsity for linear models to nonparametric function estimation to address one or the other, but not both. We develop a penalized estimation procedure that simultaneously addresses both types of sparsity in a unified framework. We establish asymptotic properties of estimation consistency and sparsistency of the proposed method. Our method is illustrated in simulation study and real data analysis, and is shown to outperform the existing methods in identifying both local sparsity and global sparsity.

[this is a joint work with Catherine Y. Tu and Haonan Wang from Colorado State University, U.S.A.]

Dans cet exposé, nous présenterons quelques résultats concernant l’étude
probabiliste de graphes (ou cartes) planaires aléatoires. Cette théorie, initiée par
Angel et Schramm au début des années 2000, vise à  comprendre les propriétés géométriques
de graphes planaires aléatoires dont la taille tend vers l’infini.
Les travaux de Le Gall et Miermont ont notamment permis de montrer
la convergence de certains modèles vers une surface aléatoire universelle,
la carte brownienne, qui constitue un analogue du mouvement brownien pour la sphère.
Après une introduction à  ces résultats, nous nous intéresserons à  des cartes
planaires aléatoires ayant de grandes faces, appelées cartes stables.

Ces travaux ont été effectués en collaboration avec Irène Marcovici.

Un automate cellulaire probabiliste (ACP) de mémoire 2 est un algorithme stochastique qui transforme 2 mots bi-infinis $a = eta_0 = (a_i)_{i in Z}$ et $b = eta_1 = (b_i)_{i in Z}$ en un troisième $c = eta_3 = (c_i)_{i in Z}$ de tel sorte que la loi de la lettre $c_i$ ne dépend que des lettres $(b_i,a_{i+1},b_{i+1})$. Les lettres $c_i$ sont choisies de manière synchrone et indépendante. Après avoir obtenu le mot $c$, on peut ré-appliquer l’ACP en prenant en entrée les mots $(b,c)$ et ainsi de suite. On obtient alors une suite de mots $(eta_t)_{t > 0}$ dont les lettres $(eta_t(i))$ forme ce que l’on appelle le diagramme espace-temps.

Ces ACP de mémoire 2 ont été initialement définis pour étudier le modèle à  8 sommets et nous verrons qu’ils sont également liés à  d’autres modèles de la physique statistique comme, par exemple, un nouveau modèle de TASEP synchrone ou le modèle d’Eden dans le demi-plan sur le réseau triangulaire.

Dans cet exposé, nous étudierons les lois invariantes de ces ACP, l’ergodicité de ces derniers, ainsi que les propriétés d’invariance de leur diagramme espace-temps. Ce sont des problèmes insolubles dans le cas général (y compris pour les ACP à  mémoire 1) et pour cela nous verrons que nous devons restreindre l’étude à  des cas o๠la loi invariante est de type mesure produit ou de type Markov.

S’il nous reste un peu de temps à  la fin, nous verrons comme les méthodes employées dans cet exposé permettent de déduire rapidement des propriétés sur un modèle de TASEP synchrone
généralisé.