Dans cet exposé nous aborderons deux aspects de l’utilité des groupoïdes de Lie. Le premier aspect concerne la théorie de l’indice des espaces stratifiés. Nous expliquerons comment les ingrédients du théorème d’Atiyah-Singer, ainsi que sa preuve, peuvent être reformulés à  l’aide de groupoïdes, puis nous verrons comment étendre cette approche aux espaces stratifiés. Le second aspect concerne l’analyse microlocale sur les groupoïdes. Nous décrirons une généralisation des opérateurs pseudodifférentiels sur les groupoïdes de Lie : les opérateurs intégraux de Fourier, et nous mettrons en évidence le rôle fondamental joué par le groupoïde cotangent symplectique de Weinstein. Enfin, nous verrons que les solutions fondamentales des équations d’évolution appartiennent, à  des régularisants près, à  ce calcul intégral de Fourier.

Cet exposé concerne la relation entre l’analyse des opérateurs différentiels et les représentations des groupes de Lie nilpotent. La condition de Rockland généralise l’ellipticité pour les opérateurs différentiels sur les variétés qui à  l’échelle infinitésimale ressemblent à  un groupe de Lie nilpotent. C’est le cas pour la géométrie de contacte et les géométries paraboliques, par exemple. Un résultat de Melin, jamais publié, montre que de tels opérateurs vérifient les propriétés d’hypoellipticité et de Fredholm sur une variété compact. Une nouvelle preuve avec le groupoïde d’holonomie d’un feuilletage singulier nous permet de généraliser en même temps le théorème des sommes-de-carrés de Hörmander et obtenir des nouvelles classes d’opérateurs hypoelliptiques. (Travaux en commun avec I. Androulidakis, O. Mohsen et E. van Erp.)

I will review the strategy of integration of Lie n-algebroids to Lie n-groupoids using the « path method » coming from Sullivan’s Rational Homotopy Theory. I will then explain how to solve the main analytic problem of this strategy, which is to show that the spaces of solutions of generalized Maurer-Cartan equations are actually manifolds. These results can be used to show that a « local integration » of Lie algebroids indeed produces local Lie n-groupods. Based on a joint work with Michal Å iraň.

Après une introduction aux groupes hautement transitifs et aux groupes agissant sur un arbre, je présenterai un résultat récent, en collaboration avec F. Le Maître, S. Moon et Y. Stalder caractérisant les groupes agissant sur un arbre qui sont hautement transitifs.

On Euclidean space, the Fourier transform intertwines partial derivatives and coordinate multiplications. As a consequence, solutions to a constant coefficient PDE $p(D)u=0$ are mapped to distributions supported on the variety ${p(x)=0}$. In the context of unitary representation theory of semisimple Lie groups, so-called minimal representations can often be realized on Hilbert spaces of solutions to systems of constant coefficient PDEs whose inner product is difficult to describe (the non-compact picture of a degenerate principal series). The Euclidean Fourier transform provides a new realization on a space of distributions supported on a variety where the invariant inner product is simply an $L^2$-inner product on the variety (by the work of Vergne-Rossi, Sahi, Kobayashi-à˜rsted and Möllers-Schwarz). Recently, similar systems of differential operators have been constructed on Heisenberg groups. In this talk I will explain how to use the Heisenberg group Fourier transform to obtain an $L^2$-model for minimal representations in this context.

Il s’agit d’un travail en commun avec Bénoit Dhérin (Dublin) publié en 2015. Le dual d’une algèbre de Lie g (réelle de dimension finie) est une variété de Poisson grâce au crochet de Kostant-Kirillov-Souriau (KKS). Le starproduit de Simone Gutt en fournit une quantification par déformations et est lié à  l’intégration d’une algèbre de Lie en groupe de Lie. Une algèbre de Leibniz (à  gauche, réelle de dimension finie) est un espace vectoriel h muni d’un crochet qui vérifie que le crochet est une dérivation de lui-même: [x,[y,z]] = [[x,y],z] + [y,[x,z]]. C’est une généralisation non forcément antisymétrique des algèbres de Lie. D’o๠la question (d’Alan Weinstein) de savoir dans quel sens les duaux d’algèbres de Leibniz sont des variétés de Poisson et si elles admettent une quantification par déformation. Nous répondons dans notre travail avec B. Dhérin à  ces deux questions. La démarche est la suivante: Cataneo-Dhérin-Weinstein ont introduit des micromorphismes entre germes de variétés symplectiques afin de rendre la quantification fonctorielle. Dans leur théorie, des fonctions génératrices de micromorphismes jouent le rôle de phase dans des intégrale oscillantes (opérateurs Fourier intégraux). L’expansion en phase stationnaire de ces intégrales fournit alors la quantification par déformations. Nous construisons une fonction génératrice associée au crochet de Leibniz et obtenons ainsi une quantification par déformations des duaux d’algèbres de Leibniz. La notion de variété de Poisson généralisée qui en découle (limite semiclassique) est très faible. Le crochet de Poisson généralisée est l’évaluation en 0 en une variable du crochet KKS.

Dans cet exposé, après avoir énoncé un résultat concernant l’unicité et la non-dégénérescence des solutions radiales positives d’une classe d’équations elliptiques semi-linéaires, je m’intéresserai au cas particulier d’une équation de Schrödinger avec une non-linéarité donnée par une différence de puissances, i.e. $g(u)=u^q-u^p-mu u$ pour $p>q>1$ et $mu$ une constante positive. Dans ce cas, la non-dégénérescence de l’unique solution positive permet d’en analyser le comportement dans différents régimes du paramètre $mu$ et donne l’unicité des minimiseurs de l’énergie à  masse fixé dans certains régimes. Mon exposé est basé sur un travail en collaboration avec Mathieu Lewin.

Résumé

Les sous-groupes discrets de SL(2;R) peuvent s’interpréter géométriquement comme des orbi-surfaces hyperboliques. En l’absence de torsion, une représentation de dimension finie d’un tel groupe donne lieu à  un système local sur la surface. Pour comprendre la classification de ces derniers à  isomorphisme près (sur une surface compacte), il est utile de disposer de métriques hermitiennes spéciales sur ces objets. La théorie de Corlette permet de ramener cela à  la construction d’applications harmoniques équivariantes qui vont du plan hyperbolique vers l’espace symétrique d’un groupe de Lie semi-simple. Le but de l’exposé est de rappeler les grandes lignes de cette théorie et de montrer comment élargir ce point de vue géométrique pour inclure le cas des sous-groupes discrets de SL(2;R) possédant de la torsion. Une application possible de ce travail en commun avec D. Alessandrini et G.S. Lee est le calcul de la dimension des composantes de Hitchin des groupes de Coxeter hyperboliques.

Soit G un groupe réductif réel ou p-adique. Pour décrire la topologie de l’espace des représentations irréductibles tempérées de G, la stratégie la plus classique est de passer par l’étude de la C*-algèbre réduite. Les composantes connexes du dual tempéré apparaissent comme les spectres de certains « blocs » dans cette C*-algèbre réduite, faisant intervenir les opérateurs d’entrelacement de Knapp-Stein. Pour les groupes réductifs réels, A. Wassermann a montré en 1987 que ces `blocs’ ont tous, à  Morita-équivalence près, une structure très belle et très simple qui encode les phénomènes de réductibilité des représentations induites. Cela lui permit de vérifier la conjecture de Baum-Connes-Kasparov pour ces groupes. Pour les groupes p-adiques, l’existence d’une structure analogue ne va pas du tout de soi. Elle a été établie, pour certains exemples de blocs simples de groupes simples, par R. Plymen et ses étudiants. Je présenterai un travail avec Anne-Marie Aubert qui (1) donne une condition nécessaire et suffisante, en termes des R-groupes de Knapp-Stein-Silberger, pour l’existence d’un théorème de structure `à  la Wassermann’, et (2) détermine explicitement les composantes qui vérifient cette condition pour les groupes symplectiques, orthogonaux ou unitaires sur un corps p-adique.

We show how, for certain Harish-Chandra modules, the polynomial giving the dimension of the Dirac index of the corresponding coherent family can be expressed as an integer linear combination of the coefficients of the characteristic cycle. This is joint work with S.Mehdi, D.Vogan and R.Zierau.

Pour toute paire duale réductive et irréductible (G, G’) dans Sp(W), R. Howe a démontré qu’il existait un isomorphisme entre les espaces R(G) et R(G’), o๠R(G) est l’ensemble des classes d’equivalences de representations irréductibles admissibles de tilde{G} pouvant se réaliser comme un quotient de la représentation métaplectique. Dans les années 2000, T. Przebinda a introduit l’intégrale de Cauchy-Harish-Chandra et conjecturé que le transfert des caractères dans la correspondance devrait être obtenu via cette intégrale. Si l’un des membres est compact ou si la paire duale (G, G’) est dans le « rang stable”, cette conjecture a été prouvée. Dans mon exposé, je vais m’intéresser au cas o๠G et G’ sont deux groupes unitaires de même rang, et prouver cette conjecture dans le cas o๠la representation de tilde{G} considérée est une série discrète.

Le lien pour la transmission Visio s’obtient par inscription au site du « Lien externe »

La quantification par déformation d’une théorie de champs se fait en deux étapes, d’abord pour une théorie libre à  partir de la structure de Poisson donnée par le crochet de Peierls associé au propagateur de Wightmann, ensuite pour la théorie en intéraction avec une ultérieur déformation associée au propagateur de Feynman, qui produit des ambiguités gérées par le groupe de renormalisation. Chaque étape de ce programme nécessite l’étude des fonctionnelles pouvant être déformées, compliquée par l’apparition de distributions singulières avec fronts d’ondes plus au moins adaptés aux opérations réquises. Les travaux en pAQFT dans les années 1990 et 2000 décrivent ces étapes de façon rigoureuse et complète (cf. K. Fredenhagen, M. Duetsch, R. Brunetti, S. Hollands, R.M. Wald, K. Rejzner, C. Brouder, N.V. Dang, Y. Dabrowski, etc). Avec C. Brouder, B. Fauser et R. Oeckl, nous avons montré en 2004 que si on se restreint à  des fonctionnelles régulières (et on oublie donc les problèmes analytiques), ces déformations coincident avec celles purement algébriques d’une structure de Hopf-comodule sur les fonctionnels, obtenues à  l’aide de deux couplages de Laplace définis par les propagateurs (et qui remplecent donc les crochets de Poisson dans le cadre des déformations d’algèbres de Hopf à  la Drinfeld ou à  la Majid). Les premiers résultats étaient complètement formels, et ils ont été précisés au sens géometrique par R. Borcherds en 2011, et complétés au sens algébrique et analytique par E. Herscovich en 2017. Dans cet exposé, je présente les grandes lignes de ce point de vue.

Résumé

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