Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz

Dans cet exposé on considàƒÂ¨re des Equations Différentielles Stochastiques (EDS) unidimensionnelles faisant intervenir le temps local du processus inconnu, ainsi que des coefficients discontinus. Ce type d’EDS est en lien avec les opérateurs sous forme divergence àƒÂ  coefficients discontinus, ainsi qu’avec les Equations aux Dérivées Partielles (EDP) avec condition de transmission. Ces résultats son assez bien connus dans le cas homogàƒÂ¨ne en temps. On se penche ici sur le cas oàƒÂ¹ tous les coefficients de l’équation dépendent du temps. On montre des résultats d’existence et d’unicité des solutions pour ce type d’EDS (on étend ainsi des résultats pour le cas homogàƒÂ¨ne qui remontent àƒÂ  J.-F. Le Gall, 1984). Puis on établit le lien, via une formule de Feynman-Kac, entre la solution de l’EDS et la solution classique d’une EDP parabolique avec condition de transmission, et coefficients non-homogàƒÂ¨nes en temps – en particulier la condition de transmission devient elle-màƒÂªme inhomogàƒÂ¨ne en temps. Nous prouvons nous-màƒÂªmes l’existence d’une telle solution classique àƒÂ  l’EDP. Pour ce faire, on s’appuie sur les travaux de Ladyzhenskaya et al. (1966), qui ne fournissent toutefois pas le résultat directement. On se sert finalement de ces résultats pour étudier le caractàƒÂ¨re Feller de la solution de l’EDS. Travail en commun avec Miguel Martinez de l’UPEMLV.

https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/

Résumé

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